Etude d'une application linéaire f

[invite8bda8055]

Soit f(x,y,z)=(3y+2z;-2x+5y+2z;2x-3y)

Je dois déterminer le noyau et l'image de f:
Pour le noyau j'ai commencé à résoudre le système 3y+2z=0
-2x+5y+2z=0
2x-3y=0
Mais au début j'ai remplacé la ligne 3 par L1+L3 ce qui me donne
le système 3y+2z=0
-2x+5y+2z=0
2x+2z=0
De la ligne 3 j'en déduit x=-z mais après je trouve ligne 1 z=-3/2y
ligne 2 z=-5/4y
Je pense que dim kerf=2 mais la je sais pas trop comment le dire
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[US60]

Je trouve ( à moins d'une erreur de calcul ) que le rang de la matrice M associée est de 3 car détM est non nul donc automophisme de R³ et dimKerf=0

[US60]

Ou la résolution de ton système donne S= { ( 0;0;0 )} d'où l'assertion d'avant...

[invite57a1e779]

De la ligne 3 j'en déduit x=-z mais après je trouve ligne 1 z=-3/2y

Jusque là c'est bon.
On en déduit que et en reportant dans la seconde équation : , donc et par suite et .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8bda8055]

Jusque là c'est bon.
On en déduit que et en reportant dans la seconde équation : , donc et par suite et .

et donc après je peus conclure que kerf=0 d'ou d'après la formule du rang dim IM f=3 puisqu'on est dans R3 et donc f est un automorphisme c'est ça?

[US60]

Je peuX
Ker f= {0} des accolades le reste est correct , endomorphisme bijectif = automorphisme

[invite8bda8055]

Merci beaucoup ça m'a bien aidé