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Espace vectoriel, noyau



  1. #1
    shinichiro

    Espace vectoriel, noyau


    ------

    Bonjour j ai quelques soucis avec cet exercice:

    f application de R3 dans R3 qui a (x,y,z) associe (2x+y+z, 2x+y+z, 2x+y+z) , on a donc trois fois la meme chose.

    On me demande de montrer que cette fonction est linéaire ca c est fait.
    Apres je dois déterminer une base de Ker f.
    Seulement voila je me retrouve avec comme seule équation
    2x+y+z=0 et je ne vois pas comment faire avec autant de variables libres...
    De meme lorsqu'il s agit de déterminer une base de Im f, je ne sais pas comment procéder...

    (A la fin on doit avoir une solution telle que fim Imf + dim Ker f=3)

    Quelqu un aurait une idée pour m'aider ?

    -----

  2. #2
    SchliesseB

    Re : Espace vectoriel, noyau

    on a à l'origine R^3 de dimension 3

    on impose une condition: 2x+y+z=0 soit 2x+y=-z

    on cherche deux vecteurs indépendants solutions de cette équation (car 3-une condition=2, on alors car Im f est de dimension 1+th du rang)

    on peut imposer x=0 et y=1, x=0 et y=1 par exemple...

    pour une base de Im f tu peux ecrire:

    f(x)=(2x+y+z) (1,1,1)

    sinon, la meilleure méthode (toujours applicable) est de calculer f(1,0,0), f(0,1,0) et f(0,0,1) et d'en extraire une base. mais ici c'est facile

  3. #3
    such-a-pity

    Re : Espace vectoriel, noyau

    J ai compris !
    Merci a toi =)

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