Voila on me donne e'1=(1,0,1); e'2=(3,2,0) et e'3=(1,1,-1) et je dois montrer que B'=(e'1;e'2;e'3) est une base de R3 par deux méthodes différentes.
Pour la première méthode je crois que j'ai trouvé je cherche si la famille est libre
Y1+Y3=0
3Y1+2Y2=0
Y1+Y1-Y1=0
et je trouve bien Y1=Y2=Y3=0 donc la famille est libre mais après je coince je ne vois pas de quelle autre méthode il parle si vous pourriez m'aider svp?
Si tu considères l'endomorphisme de R³ où e1 a pour image e'1 , e2 a pour image e'2 ... tu récupères sa matrice M dont les vecteurs colonnes sont e'1 ; e'2 ; e'3 alors Dét M est non nul donc les vecteurs images sont libres car ....
Désolé mais j'ai pas vraiment compris c'est la deuxième méthode la je calcule le déterminant et je vérifie qu'il est non nul.
En fait la seconde méthode c'est de prouver que tu peux écrire tout vecteur de R3 comme combinaison linéaire de tes 3 vecteurs.
Pour ça il suffit de montrer que tu peux écrire chaque vecteur de la base canonique de R3 comme combinaison linéaire de tes 3 vecteurs (après tu pourra en faire une combinaison linéaire qui donnera tout vecteur de R3, et une combinaison linéaire de combinaison linéaires est une combinaison linéaire).
Ça revient en fait à inverser le système suivant :
e'1 = e1+ e3
e'2 = 3 e1 + 2 e2
e'3 = e1 + e2 - e3
Ce qui revient à inverser la matrice
1 3 1
0 2 1
1 0 -1
Qui est inversible si et seulement si son déterminant est non nul
Tu peux aussi créer un changement de base pour te ramener à une base canonique.
Tu pars de tes vecteurs E1=(1, 0, 1) ; E2=(3,2, 0) et E3=(1, 1, -1)
Tu fais le changement de base suivant par exemple :
V1=2.E1+2.E3-E2 ce qui donne V1=(1, 0, 0)
V3=E1-V1 qui donne facilement V3=(0, 0, 1)
V2=(E2-3.V1)/2 qui donne V2=(0, 1, 0)
Sauf erreur, on a trouvé un changement de base qui permet de passer à la base canonique de R3, ce qui prouve que la base initiale était bien aussi une base de R3. Mais bon, il y a surement mieux comme méthode
Ou sinon pour dire quelle est inversible je peux juste résoudre l'équation X=0 non? sans passer par le déterminantEnvoyé par Tryss
Oui vérifier que seul 0(,0,0,0) est solution....
Y'en a 50 000 000 000 des methodes.
Ma préféré: Tu écrit la matrice de B' dans la base B (cano disons) et puis tu l'échelonne.
Ca te permet entre autre de savoir que le systeme est libre. Donc que c'est une base.
Ceci étant dit, tu peux pousser un peu plus loin pour inverser cette matrice, et obtenir la matrice de passage de B à B' (la matrice de B dans B')
Puis on aime bien foutre des matrices partout de nos jours !
