Calcul de la circonférence d'un cardioïde

[invite67f80e10]

Bonjour,

J'ai tracé la courbe polaire du cardioïde et on me demande de calculer la longueur de l'arc.

La courbe polaire est donné selon a appartenant à R+\{0} tq:

f(théta)=a(1-cos(théta))

Apparement il faut intégrer, sur -pi jusqu'a pi, l'expression suivante:

racine((f'(théta))²+f(théta)²) .

je ne vois pas très bien à quoi cela correspond sinon à une portion infiniement petite de courbe, cela dit je ne comprends pas très bien pourquoi. Pourriez vous me donner des éléments de compréhension.

Merci, Bonne journée.
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[invitea3eb043e]

Prends un point M de ta courbe de coordonnées polaires (r, @) et fais varier @ de d@. Ton point va arriver en M' dont les coordonnées polaires seront (r + dr, @ + d@)
Un petit dessin et Pythagore vont te montrer que le chemin parcouru sera ds tel que :
ds² = dr² + r² (d@)²
On en déduit la valeur de ds/d@ qu'il faut intégrer sur le domaine où varie @, c'est ta formule.

[inviteaf1870ed]

L'abscisse curviligne de la cardioïde (le s de ds) a une expression simple :

http://www.mathcurve.com/courbes2d/c...cardioid.shtml

[invite67f80e10]

Voulez dire que le segment MM', à moins qu'il faille revenir en paramétrique, à pour coordonnées (r+dr-r;@+d@-@) soit (dr,d@) et qu'il faudrait ensuite calculer la norme de ce vecteur soit ds²=dr²+d@², je en comprends pas le terme r².d@².

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Fais un dessin et tu verras que ds est la diagonale d'un triangle rectangle dont un côté vaut dr et l'autre r d@

[invite67f80e10]

J'ai beau faire un dessin je ne vois pas de triangle rectangle qui admet pour hypothénuse une portion infinietésimal du cardioïde.

[sylvainc2]

Regarder la pièce jointe:

Il y a deux triangles rectangles en C
OA = r = f()
L'angle en O est une variation infinitésimale de : d


Puisque d est très petit, on peut dire que le segment OC = OA
CB = dr = une petite variation de r
Entre A et B il devrait aussi y avoir un arc de cercle que je n'ai pas dessiné, en plus de l'hypoténuse.
Donc AC = ( d / (2) ) * (2 r) = r * d
et l'hypoténuse AB = sqrt(AC^2 + CB^2) = sqrt( (r * d)^2 + (dr)^2 ) = sqrt( (r^2 + (dr/d)^2) * (d)^2 )

Si on remplace r par f() et dr/d par f'() on a ta formule pour la longueur de l'arc en coord polaires.

[invitea3eb043e]

J'ai beau faire un dessin je ne vois pas de triangle rectangle qui admet pour hypothénuse une portion infinietésimal du cardioïde.

Il est presque rectangle si on prend des triangles infinitésimaux.

[invite67f80e10]

Merci beaucoup j'aurais pas trouvé.