centre de O(n)

[invitee75a2d43]

Bonjour,

j´ai un exo qui à première vue me parraissait simple, mais je n´avance pas:

Soit g une isométrie de Rⁿ qui commute avec tous les éléments de O(n). Montrer que g préserve les droites.

Je me suis dit que je pourrais prouver que g préserve les hyperplans, ça suffirait, mais je n´y suis pas arrivé.
Ou bien j´ai pensé passer aux matrices: Soit A la matrice de g, pour toute matrice B orthogonale, AB = BA ou encore ^tB.A.B = A.
Mais ça ne m´avance à rien.

Quelqu´un a-t-il une petite idée?

Merci d´avance.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Tu as besoin d'un petit lemme : si f et g commutent, alors les espaces propres de f sont stables par g.

Lorsque g commute avec tous les éléments de O(n), il te suffit alors, pour une droite D donnée, de construire f dans O(n) pour lequel D est une droite propre, qui sera donc stable par g.

[invitee75a2d43]

Merci God´s Breath, je ne connaissais pas ce lemme

[invitee75a2d43]

Mais ce lemme est générale pour les application linéaire non? Pas spécialement pour les isométries?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Oui, le lemme est valable dans un cadre très général.
Comme on ne veut l'utiliser uniquement pour des isométries, on peut se contenter de raisonner sur le sous-espace des vecteurs invariants, c'est-à-dire uniquement pour la valeur propre 1.

[invitec317278e]

Si tu veux le faire purement matriciellement, j'ai le vague souvenir d'avoir abouti en considérant tour à tour plusieurs matrices de O(n) bien choisies, et en voyant les égalités de coefficient qu'on obtient alors dans la matrice de g. Le but étant de montrer que la matrice de g est un multiple de l'identité (résultat un peu plus fort). Mais c'est sans nul doute très laborieux sans connaitre les bonnes matrices...

[invitee75a2d43]

Bonjour,

... il te suffit alors, pour une droite D donnée, de construire f dans O(n) pour lequel D est une droite propre...

En dimensions 2 ou 3, je vois comment construire une telle isométrie, mais sinon...

[invite4ef352d8]

en dimension quelconque, tu prend v1 un vecteur normé de la droite dont tu veux qu'elle soit stable, et tu construit une base orthogonal de l'espace v1...vn. ensuite tu définit ton application "par block"

typiquement, en dimension 2 ca donne :
f =
1 0
0 -1

en dimension 3 :
1 0
0 R
où R est une rotation sans point fixe.

en dimension 4 on peut prendre :
1 0 0
0 -1 0
0 0 R
où R est une rotation sans point fixe (en dimension 2)

et je pense que tu devine comment on fait en dimension quelconque ?

[invite57a1e779]

En dimensions 2 ou 3, je vois comment construire une telle isométrie, mais sinon...

Tout simplement la symétrie orthogonale par rapport à la droite.

[invitee75a2d43]

Tout simplement la symétrie orthogonale par rapport à la droite.

Oh oui pardon...