convergence en loi, probabilité et p.s.

[christophe_de_Berlin]

Bonjour, j´ai une queston concernant un théorème de mon cours dont la simplicité m´intrigue. Il est dit:

Soit (X_n) une suite de v.a.r. et S_n leur somme. Alors si S_n converge en probabilité, alors elle converge aussi en loi.

Il n´est pas donné de démonstration, mais ça m´a l´air presque trop beau, trop simple (apparement aucun condition sur X_n) pour être vrai.

Est-ce possible?

En fait il s´agit d´un exo que j´aimerais vous soumettre car ma démarche est apparement complètement différente de celle du corrigé:

Soit une suite Xn de v.a.r. indépendantes et de même loi:

f(x) = 1/2 exp(abs(x))

Soit T_n = (somme des X_n).n^-2.

Montrer que T_n converge p.s.

Le corrigé part de la définition de la convergence p.s. mais moi je suis passé par les fonctions caractéristiques: en effet la f.c. de Xn est:

u_x(t) = (1+t²)^-1.

Donc comme les v.a.r. sont indépendantes, la somme S_n a pour f.c:

u_S(t) = (1+t²)^-n.

Et celle de Tn a pour est:

u_T(t) = u_S(t/n²) = (1+t²)^-n.

Bref, la f.c. de T_n converge vers 1, j´en déduit que T_n converge en loi vers 0.

À partir de là, c´est là que ça se corse:

J´ai trouvé un théorème comme quoi si des v.a.r. sont définies sur un même espace probabilisé et convergent en loi vers une constante, alors la convergence a lieu aussi en probabilité.

Est-ce si simple?

Donc ma T_n convergerait en proba vers la v.a.r. constante 0 et comme c´est une somme de variables, la convergence serait aussi presque sûre.

Bref, je suis très peu sûr de moi car je ne manipule pas trop ces convergences.

Si quelqu´un trouve un hic, je suis prenant.

Merci d´avance.

Christophe
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[invite986312212]

Bonjour, j´ai une queston concernant un théorème de mon cours dont la simplicité m´intrigue. Il est dit:

Soit (X_n) une suite de v.a.r. et S_n leur somme. Alors si S_n converge en probabilité, alors elle converge aussi en loi.

salut,

la convergence en proba entraîne la convergence en loi, c'est un résultat général qui ne concerne pas seulement les sommes de v.a.

[christophe_de_Berlin]

Oh pardon, je me suis gouré en recopiant ce théorème. Il fallait lire:

Si S_n converge en probabilité, alors S_n converge également p.s.

Effectivement, il est connu - et ça ne me pose pas de problème - que la convergence en proba entraine la convergence en loi.

[christophe_de_Berlin]

Mais ma question reste: Si on a une suite de v.a.r. disons indépendantes, et telles que la somme Sn = X1+...+Xn converge en probabilité.

Peut-on alors dire que Sn converge p.s. ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

oui.
c'est le théorème 4 p 274 du bouquin de Chow & Teicher.
la démonstration part du fait que la suite des fonctions caractéristiques converge uniformément sur tout compact. Mais ça me prendrait trop de temps de la taper en TeX...

[christophe_de_Berlin]

Je viens de recevoir une réponse comme comme quoi c´est une théoréme de Lévy:

Si les Xn sont indépendantes, alors les convergences en loi, en proba et presque sûres de la série S_n = Somme (k = 1 à n) X_k sont équivalentes.

Merci bien