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convergence en loi, probabilité et p.s.



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    convergence en loi, probabilité et p.s.


    ------

    Bonjour, j´ai une queston concernant un théorème de mon cours dont la simplicité m´intrigue. Il est dit:

    Soit (Xn) une suite de v.a.r. et Sn leur somme. Alors si Sn converge en probabilité, alors elle converge aussi en loi.

    Il n´est pas donné de démonstration, mais ça m´a l´air presque trop beau, trop simple (apparement aucun condition sur Xn) pour être vrai.

    Est-ce possible?

    En fait il s´agit d´un exo que j´aimerais vous soumettre car ma démarche est apparement complètement différente de celle du corrigé:

    Soit une suite Xn de v.a.r. indépendantes et de même loi:

    f(x) = 1/2 exp(abs(x))

    Soit Tn = (somme des Xn).n-2.

    Montrer que Tn converge p.s.

    Le corrigé part de la définition de la convergence p.s. mais moi je suis passé par les fonctions caractéristiques: en effet la f.c. de Xn est:

    ux(t) = (1+t2)-1.

    Donc comme les v.a.r. sont indépendantes, la somme Sn a pour f.c:

    uS(t) = (1+t2)-n.

    Et celle de Tn a pour est:

    uT(t) = uS(t/n2) = (1+t2)-n.

    Bref, la f.c. de Tn converge vers 1, j´en déduit que Tn converge en loi vers 0.

    À partir de là, c´est là que ça se corse:

    J´ai trouvé un théorème comme quoi si des v.a.r. sont définies sur un même espace probabilisé et convergent en loi vers une constante, alors la convergence a lieu aussi en probabilité.

    Est-ce si simple?

    Donc ma Tn convergerait en proba vers la v.a.r. constante 0 et comme c´est une somme de variables, la convergence serait aussi presque sûre.

    Bref, je suis très peu sûr de moi car je ne manipule pas trop ces convergences.

    Si quelqu´un trouve un hic, je suis prenant.

    Merci d´avance.

    Christophe

    -----

  2. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : convergence en loi, probabilité et p.s.

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    Bonjour, j´ai une queston concernant un théorème de mon cours dont la simplicité m´intrigue. Il est dit:

    Soit (Xn) une suite de v.a.r. et Sn leur somme. Alors si Sn converge en probabilité, alors elle converge aussi en loi.
    salut,

    la convergence en proba entraîne la convergence en loi, c'est un résultat général qui ne concerne pas seulement les sommes de v.a.

  3. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : convergence en loi, probabilité et p.s.

    Oh pardon, je me suis gouré en recopiant ce théorème. Il fallait lire:

    Si Sn converge en probabilité, alors Sn converge également p.s.

    Effectivement, il est connu - et ça ne me pose pas de problème - que la convergence en proba entraine la convergence en loi.

  4. #4
    christophe_de_Berlin

    Re : convergence en loi, probabilité et p.s.

    Mais ma question reste: Si on a une suite de v.a.r. disons indépendantes, et telles que la somme Sn = X1+...+Xn converge en probabilité.

    Peut-on alors dire que Sn converge p.s. ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite986312212
    Invité

    Re : convergence en loi, probabilité et p.s.

    oui.
    c'est le théorème 4 p 274 du bouquin de Chow & Teicher.
    la démonstration part du fait que la suite des fonctions caractéristiques converge uniformément sur tout compact. Mais ça me prendrait trop de temps de la taper en TeX...

  7. #6
    christophe_de_Berlin

    Re : convergence en loi, probabilité et p.s.

    Je viens de recevoir une réponse comme comme quoi c´est une théoréme de Lévy:

    Si les Xn sont indépendantes, alors les convergences en loi, en proba et presque sûres de la série Sn = Somme (k = 1 à n) Xk sont équivalentes.

    Merci bien

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