La série harmonique alternée

[invitef8bd6408]

slt

Puis-je dire que la série
est holomorphe sur les complexes de parties réelle >0. On sait qu'elle converge, mais pas uniformément quand la partie réelle varie entre 0 et 1, donc je sais pas si on peut dire qu'elle est qd meme holomorphe entre 0 et 1...

Qu'en pensez-vous?
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[invitea6f35777]

Salut

Oui, bien sûr qu'elle est holomorphe sur les complexes de partie réelle strictement positive. Il suffit que la convergence soit uniforme sur tout compact. Si tu prends un nombre complexe tel que , pour montrer que cette série est holomorphe en ce point on peut se placer sur la boule de centre et de rayon , la partie réelle de chaque élément de la boule est alors uniformément minorée par ce qui fait que la convergence est uniforme sur la boule et que la série est holomorphe en .

[invite0fa82544]

slt

Puis-je dire que la série
est holomorphe sur les complexes de parties réelle >0. On sait qu'elle converge, mais pas uniformément quand la partie réelle varie entre 0 et 1, donc je sais pas si on peut dire qu'elle est qd meme holomorphe entre 0 et 1...

Qu'en pensez-vous?

Sûr qu'elle est holomorphe, sauf en , puisque cette série est égale à , où est la fonction de Riemann, définie partout sauf en où elle a un pôle simple.

[invitea6f35777]

Il s'agit de la série harmonique ALTERNEE il y a un bien sur que la série converge en et on a même

la convergence de cette série est assurée par critère spécial des séries alternées, la valeur vient du développement

série entière dont le rayon de convergence est et puisque par critère des séries alternées elle converge en on en déduit qu'elle est continue en sur (et même sur tout un cône du plan complexe de sommet qui est contenu dans le disque de convergence)

D'ailleurs dans ta formule a un zéro simple en donc tu avais une autre preuve de la convergence en

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8bd6408]

merci pour toute vos réponses, j'ai compris