Série alternée

[invite9e567282]

Bonsoir,

J'ai longtemps cherché la solution à un exercice sur les séries mais je ne sais pas trop comment m'y prendre. En voici l'énoncé :

xn=(-1)^n / ((n²+1)^(1/2))
On note Sn=somme pour n=0 à N de xn et S=somme pour n=0 à +infini de xn
Déterminer No tel que pour tout N > No, |Sn-S|<10^-3.

Je sais que Sn est une série alternée et comme a_n=1/(n²+1)^1/2 décroit vers 0, alors somme de x_n converge. Je sais aussi que |S-Sn|< a_n+1.

Du coup je me suis demandé si je pouvais dire que |S-Sn|=|Sn-S|<a_n+1... mais je bloque ici...

Pouvez vous m'aider ? Merci d'avance en tout cas.
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[invitec317278e]

tu es sur la bonne voie : il reste à trouver n tel que a_(n+1) soit inférieur à 10^-3

[invite9e567282]

a_n+1=1/sqrt(n²+2n+2)

On a donc 1/sqrt(n²+2n+2) < 10^-3 <=> n²+2n+2 > 10^6...

Cette équation n'a pas de solutions réelles... comment faire ?

[invite1e1a1a86]

ah?

pourtant pour n assez grand, n^2+2n+2 est bien plus grand que 10^6

si tu veux un No qui convient, essai avec un grand No (style 10^3 )
si tu veut le plus petit, il faut résoudre n^2+2n+2-10^6=0 et prendre la plus petite valeur entière plus grande que les racines

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e567282]

Ah oui je me suis trompé en effet... bon bah merci.

Sa m'inquiète quand même un peu... c'est si "évident" que ça ?

[invite6f25a1fe]

a_n+1=1/sqrt(n²+2n+2)

On a donc 1/sqrt(n²+2n+2) < 10^-3 <=> n²+2n+2 > 10^6...

Cette équation n'a pas de solutions réelles... comment faire ?

tu ne trouveras pas de toute façon un n entier qui corresponde pile à 10^-3. Il faut juste trouver le n minimum à partir duquel l'inéquation est vérifié.

Il ne faut donc pas faire une étude de racine, mais plutôt de signe (comme tu as vu qu'il y a pas de racine réelle, c'est encore plus simple)

[invite9e567282]

D'accord merci !

[invite1e1a1a86]

Ah oui je me suis trompé en effet... bon bah merci.

Sa m'inquiète quand même un peu... c'est si "évident" que ça ?

pour n tendant vers l'infini, n^2+2n+2 tend vers l'infini (car equivalent a n^2) donc a partir d'un moment n^2+2n+2 sera plus grand que n'importe quoi, pourvu qu'on prenne n assez grand.

l'énoncé demandait un No qui fonctionnait (et pas le plus petit)
il se trouve que n^2+2n+2>n^2>10^6 pour n supérieur a 10^3

donc No=10^3 convient (et N0=10^99 aussi)

[invitea07f6506]

Juste pour mettre les choses au clair.

1) Cette méthode ne permet pas de trouver le plus petit tel que, pour tout , . De fait, on aura probablement un facteur d'environ 2 entre ce plus petit et celui que l'on va trouver.

2) Ce n'est pas une raison pour mettre n'importe quoi : autant faire le mieux que l'on peut avec cette méthode (pour le coup, on trouve quasiment ce qu'a proposé SchliesseB, mais ça tient un petit peu de la chance). Pour cela, d'abord on résoud l'équation , qui a bien deux racines réelles. Ensuite, on prend le plus petit entier strictement supérieur à la plus grande de ces racines : cet entier convient.

3) Au passage, inutile de développer quand ce n'est pas nécessaire : les calculs deviennent un poil plus simple, et peuvent nous éviter d'avoir à utiliser la calculatrice.

convient.

[invite1e1a1a86]

certes, mettre 10^99 c'est stupide est peu intéressant.

mais l'idée est là, on cherche un nombre 'grand' tel que ça marche car on sait que peu importe la précision qu'on veut, on trouvera un tel nombre.

et dire que n^2+2n+2>10^6 peut facilement être simplifier en n^2>10^6 sans perdre grand chose, ce n'est pas de la chance mais une approximation rigoureuse . on a de toute façon, comme vous l'avez dit, pas le plus petit No de cette façon puisque |Sn-S| est en fait bien plus petit que an+1

[invite9e567282]

Oui, ce que l'on demandait était UN No, pas forcément le plus petit (ou le plus grand !). Bon je pense avoir bien compris.

Bonne nuit et merci beaucoup !