Endomorphisme et propriétés

invite90942d5b · 25/04/2010, 08h33

Bonjour!
Je me retrouve confronté à un problème...
Soit un endomorphisme u (de l'ensemble E dans E) de dimension finie ou infinie, comment prouve-t-on que les propriétés sont équivalentes:
$\text{[math]}$

Les deux inclusions Im(u²)€Im(u) et Im(u)+Ker(u) € E sont logiques et évidentes, mais j'ai un problème pour caractériser ce qui est dans E et n'appartient ni à im u ni à ker u
(c'est la définition de im(u)+ker(u) que j'arrive pas à exploiter... je crois!)
Merci

**Seirios** · 25/04/2010, 09h16

Bonjour,

Pour l'implication $\text{[math]}$ , l'inclusion $\text{[math]}$ est évidente, puis pour l'inclusion inverse : soit $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ ; or $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ; ainsi, $\text{[math]}$ d'où l'inclusion.

**Seirios** · 25/04/2010, 09h41

On doit aussi pouvoir écrire directement : $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 25/04/2010, 09h56

EDIT :

Envoyé par Phys2

Pour l'implication $\text{[math]}$

Lire $\text{[math]}$ .

Pour l'implication $\text{[math]}$ , l'inclusion $\text{[math]}$ est toujours vraie ; ensuite, pour l'inclusion inverse, soit $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , donc il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ ; on a alors $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ ; il existe ainsi $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ et l'inclusion.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite90942d5b · 25/04/2010, 15h01

Envoyé par Phys2

Pour l'implication $\text{[math]}$ , l'inclusion $\text{[math]}$ est toujours vraie ; ensuite, pour l'inclusion inverse, soit $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , donc il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ ; on a alors $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ ; il existe ainsi $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ et l'inclusion.

Grand merci

C'était l'ajout d'un vecteur z de ker (u) que j'avais du mal à gérer je pense... je n'ai jamais pensé à faire $\text{[math]}$ (d'après "application linéaire"?) ça aide beaucoup!
Je médite encore un peu tout ça avant de tout comprendre pour "reformuler" dans ma tête à ma façon

Edit: en plus, j'y avais pensé au
" il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ "

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