Petit calcul d'intégrale généralisée

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je cherche à calculer avec et telle que converge.

Le résultat devrait être 0 puisque l'intégrale est indépendante de a, mais il faut d'abord que je montre l'existence, ce qui revient à montrer l'existence de , mais je n'y suis pas encore arrivé...

Auriez-vous une indication à me donner pour prouver l'existence de cette intégrale ?

Merci d'avance,
Phys2
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[inviteea028771]

Tu ne peux pas montrer la convergence de ton intégrale sur [0,1]. En effet la fonction qui vaut 1 sur [0,1] et 1/x sur [1,+inf[ satisfait les conditions du problème, mais tu as :

[Seirios]

Je ne comprenais pas comment la convergence sur pouvait induire la convergence sur ...Il doit donc y avoir une coquille dans l'énoncé, l'hypothèse devait être la convergence de .

Merci

[invite57a1e779]

Le résultat devrait être 0 puisque l'intégrale est indépendante de a.

Attention, sous l'hypothèse que converge, on te demande de démontrer que converge , et de calculer sa valeur.
Mais il ne faut surtout pas écrire , les deux intégrales du second membre divergent, avec une différence qui converge.

Dans les exercices de ce modèle, il faut écrire et faire, dans les intégrales obtenues, deux changements de variables distincts, de façon à avoir deux intégrales, sur deux intervalles distincts, mais de la même fonction. Ensuite, on regarde ce qui se passe lorsque tend vers 0 et que tend vers .

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

On a .
Donc si , .
En vertu de l'hypothèse, quand , la seconde intégrale tend vers 0.
En vertu de la continuité en 0, la première intégrale va se comporter comme , et va donc tendre vers .

[Seirios]

On a .
Donc si , .
En vertu de l'hypothèse, quand , la seconde intégrale tend vers 0.
En vertu de la continuité en 0, la première intégrale va se comporter comme , et va donc tendre vers .

Le dernier argument me pose problème : intuitivement il me paraît correct, mais je ne vois pas comment le justifier proprement.

[invite51d17075]

On a .
[/TEX].

ben non, avec le changement de variable il y a un 1/u qui apparait et qui exclut la soustraction qui suit !!
telle qu'elle est présentée.

[invite51d17075]

pardon, boulette
désolé

[breukin]

La fonction est continue en 0. Pour tout , il existe , tel que si ,
On choisit alors et on évalue :

[inviteaf1870ed]

C'est une intégrale de Frullani, voir par exemple ici : http://www.les-mathematiques.net/pho...396362,quote=1

[Seirios]

Merci à vous