Problème de série

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais montrer que pour une suite décroissante telle que la série de terme générale converge.

J'ai pensé à passer par les intégrales en introduisant la fonction f affine par morceau telle que , mais il est possible que l'on perde l'hypothèse de décroissance de la fonction pour , et je pense que ce serait toujours le cas quelque soit la fonction f que l'on choisisse (et qui réponde aux hypothèses de décroissance et de continuité bien sûr).

Auriez-vous une indication à me donner ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invitea6f35777]

Salut,

Je pense que tu peux montrer que pour une suite décroissante et telle qu'il n'est pas vrai que

alors il existe une constante telle que

[invite57a1e779]

Indication : écrire la convergence de la série de terme général en utilisant le critère de Cauchy.

[Seirios]

Je pense que tu peux montrer que pour une suite décroissante et telle qu'il n'est pas vrai que

alors il existe une constante telle que

Effectivement : si , alors et ; or cette dernière série diverge.

Indication : écrire la convergence de la série de terme général en utilisant le critère de Cauchy.

Je ne suis pas sensé utiliser le critère de Cauchy dans mes exercices...

Merci à vous deux

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6f35777]

En fait quand je dis "je pense que" c'est pour dire "il est facile de montrer que"

Soit



Questions:
1- Quelle est la négation de (1) ?
2- Comment écrire (2) à l'aide de quatificateurs ?
3- Montrer que, puisque la suite est décroissante et positive, la négation de (1) est équivalente à (2).
4- Conclure que l'indication que je t'ai donnée se déduit de façon élémentaire de la définition de la limite.

[invitec317278e]

Sinon, tu peux écrire

[inviteaf1870ed]

Une autre méthode, je pense, avec Cesaro :

Appelons Vn=nUn et formons la somme V0+V1+....Vn, que j'appelle Tn
Alors la réciproque de Cesaro me dit que si Tn/n (Tn est monotone, donc dans les conditions d'application de la réciproque de Cesaro) converge vers une limite, Vn tend vers la même limite.

De même si Sn est la somme U0+U1+....Un, alors Sn converge par définition. Donc par Cesaro, (S0+S1+....Sn)/n converge également vers la même limite.

Calculons maintenant Tn+(S0+S1+...+Sn) : on voit que chaque terme de la série est écrit n fois (faire un dessin).

Donc Tn+(S0+S1+...+Sn)=nSn

Donc Tn/n= Sn - (S0+S1+...+Sn)/n

Par Cesaro le membre de droite tend vers zéro, donc Tn/n aussi.

Donc Vn aussi (cf supra les conditions d'utilisation de la réciproque de Cesaro)

[Seirios]

En fait quand je dis "je pense que" c'est pour dire "il est facile de montrer que"

En fait, quand j'écris "effectivement", c'est que j'ai compris le raisonnement

Merci à tous