Matrice
bonjour , j'espère que vous pourrez m'aider à comprendre, je suis bloqué
soit h : C --> M(R)2
z --> | Re(z) -Im(z)|
........|Im(z) Re(z)|
a/j'ai montrer que g est une appli linéaire injective
b/ Ecrire la matrice de h dans la base canonique de C et M(R)2
c/ il me faut montrer (par recurrence je supppose) que pour tout z, z' de C on a h(zz')=h(z)h(z')
c'est surtout le b qui me pose probleme
Un grand merci à tous
Si tu écris z=a+ib et z'=a'+ib'...
Tu as zz'= ? et donc h(zz')= ?
Ensuite tu calcules h(z), h(z') puis tu fais le produit des deux, et là tu trouves le résultat.
Il y a peut-être moins bourrin comme méthode... mais celle-là marche ^^
on peut sinon écrire qu'il s'agit (presque) d'une rotation.
oui Katatsumuri merci cette méthode est efficace je confirme, j'y avais pensé
mais mon veritable probleme est la question b)
Thorin , que signifie ce que tu viens de dire?
Ah oui pardon, j'avais mal lu...
Eh bien tu reviens tout simplement à la définition de matrice associée à une application linéaire.
Quelle est la base canonique du |R-espace vectoriel C ? (2 éléments)
Quelle est celle de M(R)2 ? (4 éléments)
A partir de là, tu écris les images par h des deux vecteurs qui forment la base de C, tu les exprimes dans la base canonique de M(2)R, et puis tu n'as plus qu'à mettre tout ça sous forme de matrice à 4 lignes et 2 colonnes, a priori.
la base canonique de C c'est (1,i) mais qu'es ce qu'on en fait ensuite?
et pour M(R)2 c'est |1 0|..|0 1|..|0 0|..|0 0|
.............................. |0 0|..|0 0|..|1 0|..|0 1|
Tu calcules h(1), tu trouves une matrice et tu peux donc l'écrire comme une combinaison linéaire des
|1 0| |0 1| |0 0| |0 0|
|0 0| |0 0| |1 0| |0 1| (on les note, par simplicité, e1, e2, e3, e4)
Tu trouves un truc du genre a e1 + b e2 + c e3 + d e4
Tu fais pareil pour h(i), tu trouves a' e1 + b' e2 + c' e3 + d' e4
Et alors la matrice que tu cherches est
|a a'|
|b b'|
|c c'|
|d d'|
Autrement dit, les colonnes de ta matrice sont les images des vecteurs de la base de C exprimés dans la base de M(R)2.
|1 0|
|0 -1 |
|0 1 |
|1 0 |
on obtient ceci alors? c'est bien une seul matrice ?
merci
C'est bien ce que je trouve, en tout cas...
ok merci katatsumuri c'est vraiment sympa
Pas de quoi, pour une fois que je peux aider quelqu'un... ^^'
L'idée de Thorin est d'écrire z sous la forme r*exp(it). Alors h(z) est la matrice de rotation d'angle t, multipliée par r.Envoyé par astroblack
Le résultat c en découle immédiatement.
... et c'est moins bourrin ! ^^'
