Bonjour à tous,
J'étudie pour l'été (plus ou moins en «autodidacte») des livres portant sur la topologie algébrique. Le premier de ceux-ci est un livre d'introduction, mais malgré cela la quasi totalité des concepts abordés sont nouveaux pour moi (je n'ai que de très minces notions en théorie des groupes, notions pourtant supposées comme acquises par le lecteur des livres que j'aie en mains). Ainsi je bloque souvent sur des exercices. Une des causes à mes blocages est mon manque de connaissance quant aux procédés «habituels» de résolution de problème ; autrement dit, je n'ai pas vraiment de démonstrations de comment résoudre des types d'exercices et souvent je dois tenter de saisir le sens même de la question.
Enfin bref, j'aimerais chercher de l'aide sur le forum afin qu'on m'éclaire si possible sur certains exercices. Ce fil a pour but de regrouper mes diverses questions au lieu de créer différents fils pour différents exercices. Tous les exercices, à moins d'avis contraire, proviennent de l'ouvrage suivant :
KOSNIOWSKI, Czes. A First Course in Algebraic Topology. Cambridge University Press. New-York. 1980. 269 pages.
Celui-ci est en anglais et je traduirai donc aussi bien que possible les énoncés d'exercices.
Un premier exercice est le suivant :
p.49, Exercice 7.13.h) portant sur les espaces (topologiques) compacts :
Question de commencer pas trop mal, j'ai choisi un exercice auquel j'ai répondu en entierSoitun espace topologique et définissons
comme étant
où
est un élément non contenu dans
. Si
est la topologie pour
alors définissons
comme
auquel on ajoute tous les ensembles de la forme
où
et
est à la fois compact et fermé dans
. Montrez que
est une topologie pour
. Montrez aussi que
est un sous-espace de
et que
est compact. (
est appelé la compactification un point de
)
Néanmoins, ce sont les hypothèses sur ce qu'est
qui me paraissent étranges.
En effet, s'il s'agit d'une méthode de compactification d'un espace topologique, j'imagine que
n'est déjà pas compact. Ensuite, je considère les ensembles qu'on ajoute à
afin d'obtenir une topologie pour
. Si
est fermé dans
, alors
est ouvert dans
, c'est-à-dire que
. Ensuite, si
est compact, cela signifie que pour tout recouvrement ouvert (d'ouverts issus de
) de
il existe un sous-recouvrement fini de
. Notons un tel sous-recouvrement par
avec
un ensemble indiciel fini. On a donc que
. On peut donc 'ajouter' l'ouvert
de chaque côté et obtenir
qui est un (sous-)recouvrement fini de
. Puisque le sous-recouvrement fini de
provient d'un recouvrement arbitraire de
, il me semble qu'on vient de montrer qu'on peut extirper de tout recouvrement de
un sous-recouvrement fini, faisant de
un espace compact.
J'ai donc fait une recherche dans Internet et j'ai trouvé qu'il s'agissait de la compactification d'Alexandroff. Les hypothèses sursont néanmoins que celui-ci est non compact (je peux comprendre), compact localement et séparé (i.e. Hausdorff). J'ai vu aussi parfois qu'on laissait tomber l'hypothèse que
était fermé. Enfin, cela ne règle pas vraiment mes problèmes, d'autant plus que le chapitre du Kosniowski sur les espaces séparés est après cet exercice.
Merci pour votre aide
Universus
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