Topologie algébrique

[invite93e0873f]

Bonjour à tous,

J'étudie pour l'été (plus ou moins en «autodidacte») des livres portant sur la topologie algébrique. Le premier de ceux-ci est un livre d'introduction, mais malgré cela la quasi totalité des concepts abordés sont nouveaux pour moi (je n'ai que de très minces notions en théorie des groupes, notions pourtant supposées comme acquises par le lecteur des livres que j'aie en mains). Ainsi je bloque souvent sur des exercices. Une des causes à mes blocages est mon manque de connaissance quant aux procédés «habituels» de résolution de problème ; autrement dit, je n'ai pas vraiment de démonstrations de comment résoudre des types d'exercices et souvent je dois tenter de saisir le sens même de la question.

Enfin bref, j'aimerais chercher de l'aide sur le forum afin qu'on m'éclaire si possible sur certains exercices. Ce fil a pour but de regrouper mes diverses questions au lieu de créer différents fils pour différents exercices. Tous les exercices, à moins d'avis contraire, proviennent de l'ouvrage suivant :

KOSNIOWSKI, Czes. A First Course in Algebraic Topology. Cambridge University Press. New-York. 1980. 269 pages.

Celui-ci est en anglais et je traduirai donc aussi bien que possible les énoncés d'exercices.

Un premier exercice est le suivant :

p.49, Exercice 7.13.h) portant sur les espaces (topologiques) compacts :

Soit un espace topologique et définissons comme étant où est un élément non contenu dans . Si est la topologie pour alors définissons comme auquel on ajoute tous les ensembles de la forme où et est à la fois compact et fermé dans . Montrez que est une topologie pour . Montrez aussi que est un sous-espace de et que est compact. ( est appelé la compactification un point de )

Question de commencer pas trop mal, j'ai choisi un exercice auquel j'ai répondu en entier Néanmoins, ce sont les hypothèses sur ce qu'est qui me paraissent étranges.

En effet, s'il s'agit d'une méthode de compactification d'un espace topologique , j'imagine que n'est déjà pas compact. Ensuite, je considère les ensembles qu'on ajoute à afin d'obtenir une topologie pour . Si est fermé dans , alors est ouvert dans , c'est-à-dire que . Ensuite, si est compact, cela signifie que pour tout recouvrement ouvert (d'ouverts issus de ) de il existe un sous-recouvrement fini de . Notons un tel sous-recouvrement par avec un ensemble indiciel fini. On a donc que . On peut donc 'ajouter' l'ouvert de chaque côté et obtenir qui est un (sous-)recouvrement fini de . Puisque le sous-recouvrement fini de provient d'un recouvrement arbitraire de , il me semble qu'on vient de montrer qu'on peut extirper de tout recouvrement de un sous-recouvrement fini, faisant de un espace compact.

J'ai donc fait une recherche dans Internet et j'ai trouvé qu'il s'agissait de la compactification d'Alexandroff. Les hypothèses sur sont néanmoins que celui-ci est non compact (je peux comprendre), compact localement et séparé (i.e. Hausdorff). J'ai vu aussi parfois qu'on laissait tomber l'hypothèse que était fermé. Enfin, cela ne règle pas vraiment mes problèmes, d'autant plus que le chapitre du Kosniowski sur les espaces séparés est après cet exercice.

Merci pour votre aide

Universus
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[invite986312212]

bonsoir,

il me semble que tu prends les choses à l'envers dans ta démonstration. Tu dois partir d'un recouvrement ouvert de X-infini, pas de X.

[invite93e0873f]

Salut ambrosio,

Je sais bien que pour démontrer la compacité de , il faut partir d'un recouvrement de celui-ci et pas de . Je vais reformuler mon problème avec cet exercice. J'ai réussi à démontrer, dans le cadre des hypothèses faites dans la première et la deuxième phrase, les 3 choses à démontrer (soit que est une topologie pour , que X est un sous-espace de et que est compact selon sa topologie).

Mon problème est qu'en voulant ajouter à d'autres ensembles de la forme définis comme des ouverts pour avoir la topologie , on donne des conditions sur (en fait ) en référence à la topologie . Il me semble que ces conditions impliquent la compacité de selon la topologie de . Or, compactifier un espace déjà compact me semble quelque chose d'un peu étrange... d'où le fait que je me dis que soit ma démarche avec laquelle je déduis que X est compact selon sa propre topologie est erronée, soit les hypothèses de l'exercice sont partiellement erronées.

Merci pour ton intérêt

[invite57a1e779]

Bonjour,

Si on considère l'ensemble muni de sa topologie usuelle.

Lorsque l'on définit la topologie sur on considère, outre les ouverts usuels des ouverts du type suivant : soit un compact de , par exemple, et , par exemple, alors est un ouvert de . Bien entendu le compact peut être plus difficile à décrire qu'une simple segment...

La topologie ainsi obtenue sur en fait un espace compact, bien que ne soit pas compact.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

ok je vois le problème. Ta démonstration du fait que X est compact n'est pas correcte: tout ce que tu as montré c'est qu'il existait un certain recouvrement ouvert fini de X (qui a comme élément un certain ouvert V) mais ce que tu aurais dû montrer, c'est que de tout recouvrement ouvert tu pouvais extraire une partie finie dont la réunion est X.

[invite93e0873f]

Bonjour,

Merci God's Breath pour cet exemple, c'est toujours bien de voir expliqué un théorème à travers un exemple. La nuance ici vis-à-vis mon problème est qu'avec le théorème de Heine-Borel, on sait qu'un compact de est fermé (et borné). Alors à travers le cas que tu mentionnes (et qui se généralise à ), on peut se demander si la condition «X-V est compact et fermé» de l'énoncé de l'exercice peut être affaibli à «X-V est compact». Puisque la compacité n'implique pas la fermeture pour tout espace topologique (bien que ce soit le cas pour ). Or, puisque j'utilise le fait que X-V soit fermé pour dire que V est un ouvert, si en fait l'hypothèse que X-V est non nécessaire (bien que je l'aie utilisée en fait) pour montrer que est une topologie de , alors mon argumentation comme quoi X serait peut-être compact déjà ne tient plus.

À ambrosio, cela me paraît aussi une possibilité d'erreur dans mon raisonnement (d'où mon emploi du ''il me semble qu'on a montré ...'' dans mon message initial), mais je ne m'en suis pas convaincu. En effet, supposons qu'on puisse recouvrir X par un ensemble d'ouverts provenant de (si, comme j'ai vu dans internet, on suppose que X est Hausdorff, alors on peut construire un tel recouvrement ; néanmoins on ne fait pas cette supposition dans l'énoncé de l'exercice). On peut noter cet ensemble avec un ensemble indiciel. J'imagine qu'on peut imaginer un 'super-ensemble d'indexation' des ouverts de et que tout ensemble est inclus dans ce super-ensemble. Dès lors, on peut peut-être noter l'ensemble précédent comme . Un tel ensemble est a priori arbitraire parmi l'ensemble des ensembles qui recouvrent X et en fait, mis à part le contexte dans lequel il a été introduit , il a un sens indépendant de X. Notons le 'grand ensemble' que nous avons mentionné dans la phrase précédente



Soit un compact de X. Il est clair que tout élément de est inclus dans (puisqu'il est plus restrictif de trouver des recouvrements de X que des recouvrements de C et que ). Soit . On peut former les produits cartésiens . On peut définir une fonction par et une fonction similaire. Si est injective, est surjective (car il existe un homéomorphisme et que est surjective vu ce qu'on a dit plus tôt).

Il me semble donc que de considérer l'ensemble plutôt que n'est pas une perte de généralité. étant compact, pour tout élément de on peut trouver un sous-recouvrement fini de (i.e. est fini). Lui ajouter V donne un recouvrement fini de X. Peut-être effectivement qu'on perd en 'arbitrabilité' en passant aux 'ensembles' finis de et que je rends un argument inutile lourd pour rien... Enfin, je n'ai pas plus le temps d'écrire pour l'instant là-dessus.

Merci encore de votre intérêt, c'est vraiment apprécié!

[invite93e0873f]

Je vais essayé de ré-exprimé ce que j'ai dit dans mon précédent message (sans pour autant dire tout ce que j'ai dit) afin de préciser ma pensée.

Le super-ensemble d'indexation auquel je faisais référence est un ensemble d'indices, disons , tel que on peut associer à tout ouvert de (c'est-à-dire à tout élément de ) un élément (un indice) de .

On considère ensuite des réunions d'ouverts de en prenant des sous-ensembles de qu'on appelle . De telles réunions sont notées ou encore . On peut donc écrire en particulier .

La question qu'on se pose est de savoir si est un recouvrement (ouvert) d'un sous-ensemble de (ou de lui-même). Notons . Pour , on note et . est compact ( ) ou encore ().

Tout élément de recouvre aussi un compact de (d'où ) et tout élément de recouvre aussi de façon finie un compact de (d'où ). Ainsi .

Par contre, puisque par construction correspond à l'ensemble des éléments de tels que et qu'en toute généralité ce n'est pas tous les de qui contiennent . Alors effectivement, ma considération via pour montrer que était compact avait cette lacune.

Parfait, merci bien ! Au moins j'ai davantage réfléchi sur cette question de topologie.

[invite4ef352d8]

Salut !

je n'ai pas lu toute les réponse qui t'on été faite, donc ma réponse est peut-etre à coté de la plaque mais bon...

ton problème ce situe ici :

pour certain auteur (essentiellement les auteur anglo saxons) : Compact = qui vérifie la propriété de Borel Lebesgue.
pour d'autres (les auteur francais principalement) "compact = qui vérifie la propriété de borel Lebesque ET qui est séparé.

dans la suite on utilisera la deuxième terminologie pour être claire en parlant d'espace "Quasi-compact" pour désigner les espaces qui vérifie la propriété de borel-lebesgue sans être forcement séparé.

Cela induit plusieur différence :
-si tu fais une compactification en un point d'un espace non localement compact tu obtiens un espace qui est bien quasi-compact, mais qui n'est pas séparé.
-un sous espace (quasi-)compact d'un espace séparé est toujours fermé, mais ca n'est pas toujours le cas d'un sous espace quasi-compact d'un espace non séparé.

et quelques autre différence du même type.

vraisemblablement, le livre dont tu parle utilise une terminologie plutot anglo saxone (donc compact = juste borel lebesgue, sans séparation) alors que la référence que tu as trouvé sur la compactification d'Alexandrov utilise la définition francophone (compact= séparé + BL ). ce qui explique les différence entre les deux.

NB : si tu part d'un espace U déjà (quasi) compact, alors U^infinie = U union {infini} avec la topologie tel que que la topologie restreinte à U coincide avec celle de U et {infinie} est un ouvert. concretement, ca revient à prendre U et à lui rajouter un point "loin de tout" le résultat est bien toujour un espace compact...

[invite93e0873f]

Je suis bien heureux d'avoir trouvé l'erreur dans mon raisonnement, mais n'empêche que je me demande toujours à quel point les conditions que X soit localement compact et séparé que j'ai trouvé ailleurs que dans mon livre sont vraiment importantes ; des précisions à ce propos seraient le bienvenue.

Par ailleurs, je vous présente ici un autre exercice. Celui-ci porte sur les espaces quotients. Plusieurs exercices, dont celui-ci, forment des espaces quotients à partir d'autres espaces topologiques en établissant des relations d'équivalence sur ces espaces à partir de groupes ; or, je ne suis pas familier avec les groupes et j'ai bien de la difficulté à travailler ces exercices ou à savoir si mes étapes sont rigoureuses. J'aimerais donc vous demandez de m'aider à résoudre de façon détaillée ces exercices afin que je comprenne mieux comment manipuler ces concepts et ainsi tenter de résoudre les autres seul. Je ne proposerai pas nécessairement de solutions à ces exercices, par peur de m'enfoncer dans des considérations erronées.

Chapitre 5 : la topologie quotient (et les groupes agissant sur des espaces). p. 37. Exercices 5.9.

b) Soient X et Y deux G-ensembles. On dit qu'une fonction est G-équivariante si pour tout et . Montrez que si X et Y sont des espaces topologiques et que f est un homéomorphisme G-équivariant alors X/G et Y/G sont homéomorphes.

On a que . En effet, si et seulement si .

Si f est un homéomorphisme, c'est une bijection continue entre X et Y et donc elle est en particulier surjective d'où . . Si on note la projection naturelle , celle-ci est continue et donc est aussi continue. Donc f est continue entre et (par la propriété universelle des quotients).

Par ailleurs est une fonction (continue) et d'où est aussi G-équivariante. De façon analogue à précédemment, on obtient que et est continue. Ainsi, f est une bijection continue entre les deux espace quotients et donc f est un homéomorphisme entre ces deux espaces quotients. CQFD.

d) Soit X un G-ensemble. Pour chaque le stabilisateur agit* sur G et donc le quotient est défini. Montrez que est juste l'ensemble des classes à gauche du groupe G suivant . Montrez qu'il y a une bijection G-équivariante entre l'orbite de x et .

*Dans ce livre, il est implicite que quand un groupe agit sur un ensemble, il agit sur celui-ci 'par la gauche'.

D'après ce que j'ai écrit plus haut et la note (*), . Or, cela me semble être l'ensemble des classes à droite du groupe G suivant et il ne m'est pas clair que puisse être normal. Bref, je suis plutôt bloqué sur cet exercice.

Merci de votre aide

[invite93e0873f]

Merci KSilver pour tes précisions ; je vais regarder tout cela

[invite93e0873f]

Salut,

*Dans ce livre, il est implicite que quand un groupe agit sur un ensemble, il agit sur celui-ci 'par la gauche'.

D'après ce que j'ai écrit plus haut et la note (*), . Or, cela me semble être l'ensemble des classes à droite du groupe G suivant et il ne m'est pas clair que puisse être normal. Bref, je suis plutôt bloqué sur cet exercice.

J'ai toujours de la difficulté avec la première partie ; si on permettait une action par la droite de sur G ou si était normal (ce qui n'est généralement pas le cas) je comprendrais, mais bon. Néanmoins, je propose une solution pour la seconde partie et je vous serais bien reconnaissant si quelque chose vous semble à retravailler de m'en toucher quelques mots. Merci.

On a fixe. On définit la fonction comme . et on a que est le noyau de et est un sous-groupe de . On peut donc former dans les classes (à gauche) suivant et ainsi obtenir une partition de qui est justement . Les éléments de cet espace quotient sont les classes (d'équivalences) qu'on peut noter pour . On chercher donc à démontrer qu'il existe une bijection G-équivariante (entre et ) qu'on désignera par .

Soient et deux éléments de appartenant à la même classe d'équivalence (i.e. ). Cela implique qu'il existe tel que . Ainsi, . Ainsi, on a une fonction bien définie entre et et il est assez clair qu'elle est bijective. Montrons qu'elle est G-équivariante. Soit , alors . CQFD

[invite14e03d2a]

*Dans ce livre, il est implicite que quand un groupe agit sur un ensemble, il agit sur celui-ci 'par la gauche'.

D'après ce que j'ai écrit plus haut et la note (*), . Or, cela me semble être l'ensemble des classes à droite du groupe G suivant et il ne m'est pas clair que puisse être normal. Bref, je suis plutôt bloqué sur cet exercice.

Merci de votre aide

Salut,

tu as raison: a priori, n'est pas un sous-groupe normal de G (on a juste comme relation) donc ne peut en général pas être muni d'une structure de groupe.

Cependant, l'énoncé parle du quotient (comme quotient ensembliste, i.e. juste l'ensemble des classes d'équivalence sans structure additionnelle) et non du groupe quotient.

Cordialement,

[invite93e0873f]

Salut,

Merci pour ton intervention. Je sais que je dois comprendre comme un 'quotient ensembliste', en fait comme un espace (topologique) quotient, mais bien entendu que je me doute qu'il y a un concept qui m'échappe quand même. J'obtiens que puisque l'opération binaire n'est dans ce cas que l'opération dans . Chaque est une classe d'équivalence, mais vu qu'on travaille avec un groupe et un sous-groupe , cela coïncide avec la notion de classe (à droite) de . Bien que pour un groupe il y ait autant de classes à gauche que de classes à droite suivant un certain sous-groupe, les classes ne sont généralement pas les mêmes et donc l'ensemble de ces classes ne sont généralement pas les mêmes. Or, on demande bien de démontrer qu'il s'agit de l'ensemble des classes à gauche suivant . À moins que le ''il s'agit'' soit à entendre à un homéomorphisme près...

Merci de ton aide

[invite14e03d2a]

Salut,

Merci pour ton intervention. Je sais que je dois comprendre comme un 'quotient ensembliste', en fait comme un espace (topologique) quotient, mais bien entendu que je me doute qu'il y a un concept qui m'échappe quand même. J'obtiens que puisque l'opération binaire n'est dans ce cas que l'opération dans . Chaque est une classe d'équivalence, mais vu qu'on travaille avec un groupe et un sous-groupe , cela coïncide avec la notion de classe (à droite) de . Bien que pour un groupe il y ait autant de classes à gauche que de classes à droite suivant un certain sous-groupe, les classes ne sont généralement pas les mêmes et donc l'ensemble de ces classes ne sont généralement pas les mêmes. Or, on demande bien de démontrer qu'il s'agit de l'ensemble des classes à gauche suivant . À moins que le ''il s'agit'' soit à entendre à un homéomorphisme près...

Merci de ton aide

Pourquoi serait un quotient topologique? G n'a pas de topologie (à moins que j'ai mal lu ce que tu as écrit).

Pour l'histoire des classes à droite/à gauche, c'est peut-être tout simplement un problème de terminologie: ce que tu appelles "classe à droite", l'auteur de la proposition l'appelle "classe à gauche".

[invite93e0873f]

Tu as raison ; j'ai perdu de vue que la définition d'action d'un groupe était sur un ensemble en fait et non pas sur un espace topologique. Cela n'avait pas en soit de conséquence dans les raisonnements que j'aie tenus, mais merci beaucoup pour la précision.

Dans le livre, on définit une classe à gauche de suivant un sous-groupe comme avec et on 'définit' l'action d'un groupe sur un ensemble comme étant l'action par la gauche aussi : .

Pourtant, la relation d'équivalence sur définie par est (bref, agit par la gauche), ce qui est bien une classe à droite...

[invite93e0873f]

Bonjour,

J'ai un nouvel exercice probablement simple, mais qui me cause problème. C'est-à-dire que je ne vois pas comment procéder, ne maniant pas suffisamment bien les concepts touchés. Le livre étant anglais comme je l'ai mentionné et n'ayant pas trouvé de traductions pour certaines notions, je les laisse en anglais, mais en italique.

Supposez que est un retract de avec la retraction . Notons (pour ):

(où désigne l'inclusion, le groupe fondamental de basé au point ) et

Supposez que est un sous-groupe normal de . Montrez que est le produit direct des sous-groupes et .

Je précise une définition du livre : Un sous-ensemble A d'un espace topologique X est appelé retract de X s'il existe une fonction continue (appelée retraction) telle que (ou de façon équivalente ) où est la fonction inclusion.

Les indices * indiquent qu'il s'agit des homomorphismes de groupes (fondamentaux) induits par les fonctions associées.

Merci de votre aide,

Universus