Intégrale / Primitive

[Scapike]

Bonjour à tous!

Où puis-je trouver la démonstration du lien entre la primitive et l'aire sous la courbe? Comment se fait-il que la valeur de l'aire sous la courbe corresponde à la primitive? Merci!
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[breukin]

Dérive l'aire sous la courbe à partir de la définition de la dérivée !
(évaluer en l'assimilant à un rectangle très étroit, étant la surface sous la courbe).

[Scapike]

L'aire du rectangle en question est longueur * largeur.
J'ai dit que la largeur est égale à [(x+h)-x] par contre j'arrive pas à exprimer la longueur... J'aurai tendance à dire que f(x) = f(x+h) mais je suis pas sûr... à l'aide!

[breukin]

Donc vous avez trouvé que la largeur c'est h. Plutôt que de longueur, on va parler de hauteur.
Il ne s'agit pas de trouver l'aire exacte, mais faire tendre h vers 0 (on va supposer la fontion continue).
Mon indication n'est là que pour vous faire comprendre intuitivement ce qui se passe.
Et intuitivement, quand h tend vers 0, la hauteur pour tous les points de l'intervalle de largeur h sont aux alentours de f(x), ce que vous avez exprimé maladroitement par f(x)=f(x+h).
Et donc (S(x+h)–S(x))/h va tendre vers f(x). Donc la dérivée de S, c'est f.
Après, une fois qu'on a compris cela intuitivement, on peut faire propre en se servant de la continuité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Scapike]

Merci des réponses!
Donc si j'ai bien compris l'aire sous la courbe, qu'on note A, vaut S(x+h) - S(x).
Or A = f(x)*h
Donc [S(x+h) - S(x)]/[(x+h)-x] = f(x)
cad f(x) = S'(x)
cad S(x) = intégrale de f(x).

C'est ça?

[breukin]

A est environ égal à.
Car ce n'est pas un rectangle exact, mais plus h sera petit, plus on pourra approximer avec un rectangle.
Si on veut être rigoureux, il faut partir de la définition de la continuité de f en x.
Mais le principe est là.

[Scapike]

Si on veut être rigoureux, il faut partir de la définition de la continuité de f en x.

Pourriez-vous être plus clair?

[breukin]

Il s'agit de formaliser ce que l'on a compris intuitivement par le dessin.
La fonction est continue en .
Donc pour tout il existe tel que pour tout tel que , on a .
Soit maintenant quelconque. Donc le domaine de largeur entre et a une hauteur partout comprise entre et .
Et donc est compris entre et . Si tend vers 0, on en déduit que est compris entre et , et ce pour tout aussi petit que l'on veut. Donc .

[Scapike]

Il s'agit de formaliser ce que l'on a compris intuitivement par le dessin.
La fonction est continue en .
Donc pour tout il existe tel que pour tout tel que , on a .

D'abord merci de votre réponse! Je suis désolé mais je vois pas du tout le rapport entre la continuité en x et le reste... pour le reste j'ai compris (en admettant ce que je viens de citer!). Pourriez-vous m'expliquer plus clairement svp?

[breukin]

Je ne comprends pas ce que vous n'avez pas compris.
C'est quoi, "le reste" ?
Les deux phrases, celle qui commencent par "Donc pour" et celle qui commence par "Soit maintenant", expriment exactement la même chose.
Le domaine compris entre et est un ensemble de valeurs telles que . Donc en vertu de la continuité, , c'est-à-dire est compris entre et .

[Scapike]

Je ne comprends pas ce que vous n'avez pas compris.
C'est quoi, "le reste" ?

Le premier "le reste" désignait tout le début jusqu'à . "Le reste" que j'avais compris désignait la suite (je suis désolé ça doit pas être très clair...).

Les deux phrases, celle qui commencent par "Donc pour" et celle qui commence par "Soit maintenant", expriment exactement la même chose.

J'avais fait le rapprochement!

Le domaine compris entre et est un ensemble de valeurs telles que . Donc en vertu de la continuité, , c'est-à-dire est compris entre et .

C'est ça que j'ai pas compris: d'où sortent le alpha et le epsilon? Est ce que epsilon = f(alpha)? Je ne vois pas la logique entre le fait que la fonction soit continue en x et ce qui suit (le fait que pour tout epsilon positif, etc etc)...

[breukin]

Nous voulons démontrer que (1).
Nous allons donc montrer que pour tout choisi arbitrairement aussi petit que l'on veut, est compris entre et (2), ce qui prouvera (1).

Donc on se fixe un , et en vertu de la continuité en , on sait qu'il existe un etc. etc. qui permettent d'arriver à (2).

[Scapike]

Mais pourquoi est ce qu'en vertu de la continuité en , on sait qu'il existe un etc. etc.?
C'est exactement cette partie là que j'arrive pas à assimiler! Je ne vois absolument pas la logique.

[breukin]

C'est quoi, votre définition d'une fonction continue en un point ?

[Thorin]

Et toi, quelle est ta définition de la continuité en un point ?

[breukin]

Par définition, la fonction est continue en si pour tout , il existe , tel que pour tout vérifiant , on a .
C'est ainsi qu'on définie formellement la continuité, et si tu lis bien cette définition, elle signifie ni plus ni moins en langage courant que si on se rapproche aussi près que l'on veut de , la fonction se rapproche aussi près que l'on veut de .

A contrario, une fonction est discontinue en si il existe un , tel que pour tout , on puisse trouver un tel vérifiant , tel que .

Par exemple :
1) la fonction est bien continue en 0, parce que si je choisis , pour tout de valeur absolue inférieure à , j'aurai .
2) la fonction qui vaut –1 sur les négatifs, +1 sur les positifs, et 0 en 0 est discontinue en 0, parce que est bien tel que pour tout , si je choisis , j'ai bien .

[Scapike]

Par exemple :
1) la fonction est bien continue en 0, parce que si je choisis , pour tout de valeur absolue inférieure à , j'aurai .

Mais d'où sort cette relation entre alpha et epsilon? Si on avait choisi une autre relation ça marcherait quand même? Je comprends pas...

2) la fonction qui vaut –1 sur les négatifs, +1 sur les positifs, et 0 en 0 est discontinue en 0, parce que est bien tel que pour tout , si je choisis , j'ai bien .

Pareil, comment vous faites pour trouver ?

Pour répondre aux questions précédentes, je "voyais" ce qu'était la continuité / la discontinuité mais je n'étais pas capable de la définir.

[breukin]

Mais d'où sort cette relation entre alpha et epsilon ?

Elle sort de nulle part ! La définition dit pour pout tout , il faut pouvoir trouver un tel que la propriété décrite après soit vérifiée. Donc on le cherche, il suffit d'en trouver un pour que ça marche. Si on le trouve, on a démontré que la fonction est continue. D'ailleurs, on aurait pu prendre en se limitant aux (car dans la définition, le "tout" du "pour tout " signifie surtout "pour tout suffisamment petit").
Cela dit, je veux que pour . C'est quand même assez immédiat de choisir ?

Pareil, comment vous faites pour trouver...

La définition dit pour pout tout , il faut pouvoir trouver un tel que la propriété décrite après soit vérifiée. Donc on le cherche, il suffit d'en trouver un pour que ça marche. Si on le trouve, on a démontré que la fonction est discontinue. D'ailleurs, on aurait pu prendre (ou même car dans la définition, la dernière inégalité peut être indifféremment stricte ou large).

Il y a 30 ans, ces définitions étaient au programme de la terminale C.

[Scapike]

Bon je pense avoir compris.

Cela dit, je veux que pour . C'est quand même assez immédiat de choisir ?

Oui je suis d'accord!

Donc je vais essayer de le refaire avec une autre fonction: on cherche à prouver que la fonction qui à x associe 2x+1 est continue en 0. On a | y - x | < a et | f(y) - f(x) | < e si c'est le cas, cad que | 2y + 1 - 1 | < e cad que y < e/2 cad que a = e/2. On a donc trouvé un a tel que les conditions soient vérifiées.

C'est le bon raisonnement?

[breukin]

Oui, mais c'est très mal exprimé, structuré.
On cherche a tel que si |y–0|<a, alors on aura |f(y)–f(0)|<e.
Donc si |y–0|<a, alors |f(y)–f(0)|=2|y|<2a, et il suffit que a=e/2 pour que |f(y)–f(0)|<e.

Pour revenir à la définition, je ne sais pas si tu as vu la définition formelle de ce qu'est une limite, et du verbe "tendre vers".
Mais si une fonction en continue en x, ça veut aussi dite que f(y) tend vers f(x) quand y tend vers x.
Et c'est pour cette raison de continuité que la zone sous la courbe entre x et x+h peut être de plus en plus approximée à la constante f(x), à tout epsilon près aussi petit que l'on veut, en faisant tendre h tend vers 0.

[Scapike]

Oui, mais c'est très mal exprimé, structuré.
On cherche a tel que si |y–0|<a, alors on aura |f(y)–f(0)|<e.
Donc si |y–0|<a, alors |f(y)–f(0)|=2|y|<2a, et il suffit que a=e/2 pour que |f(y)–f(0)|<e.

Pour revenir à la définition, je ne sais pas si tu as vu la définition formelle de ce qu'est une limite, et du verbe "tendre vers".
Mais si une fonction en continue en x, ça veut aussi dite que f(y) tend vers f(x) quand y tend vers x.
Et c'est pour cette raison de continuité que la zone sous la courbe entre x et x+h peut être de plus en plus approximée à la constante f(x), à tout epsilon près aussi petit que l'on veut, en faisant tendre h tend vers 0.

J'ai tout compris! Merci de toutes ces réponses!!