Bonjour à tous!
Où puis-je trouver la démonstration du lien entre la primitive et l'aire sous la courbe? Comment se fait-il que la valeur de l'aire sous la courbe corresponde à la primitive? Merci!
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Bonjour à tous!
Où puis-je trouver la démonstration du lien entre la primitive et l'aire sous la courbe? Comment se fait-il que la valeur de l'aire sous la courbe corresponde à la primitive? Merci!
Dérive l'aire sous la courbe à partir de la définition de la dérivée !
(évalueren l'assimilant à un rectangle très étroit,
étant la surface sous la courbe).
L'aire du rectangle en question est longueur * largeur.
J'ai dit que la largeur est égale à [(x+h)-x] par contre j'arrive pas à exprimer la longueur... J'aurai tendance à dire que f(x) = f(x+h) mais je suis pas sûr... à l'aide!![]()
Donc vous avez trouvé que la largeur c'est h. Plutôt que de longueur, on va parler de hauteur.
Il ne s'agit pas de trouver l'aire exacte, mais faire tendre h vers 0 (on va supposer la fontion continue).
Mon indication n'est là que pour vous faire comprendre intuitivement ce qui se passe.
Et intuitivement, quand h tend vers 0, la hauteur pour tous les points de l'intervalle de largeur h sont aux alentours de f(x), ce que vous avez exprimé maladroitement par f(x)=f(x+h).
Et donc (S(x+h)–S(x))/h va tendre vers f(x). Donc la dérivée de S, c'est f.
Après, une fois qu'on a compris cela intuitivement, on peut faire propre en se servant de la continuité.
Merci des réponses!
Donc si j'ai bien compris l'aire sous la courbe, qu'on note A, vaut S(x+h) - S(x).
Or A = f(x)*h
Donc [S(x+h) - S(x)]/[(x+h)-x] = f(x)
cad f(x) = S'(x)
cad S(x) = intégrale de f(x).
C'est ça?
A est environ égal à.
Car ce n'est pas un rectangle exact, mais plus h sera petit, plus on pourra approximer avec un rectangle.
Si on veut être rigoureux, il faut partir de la définition de la continuité de f en x.
Mais le principe est là.
Il s'agit de formaliser ce que l'on a compris intuitivement par le dessin.
La fonctionest continue en
.
Donc pour toutil existe
tel que pour tout
tel que
, on a
.
Soit maintenantquelconque. Donc le domaine de largeur
entre
et
a une hauteur partout comprise entre
et
.
Et doncest compris entre
et
. Si
tend vers 0, on en déduit que
est compris entre
et
, et ce pour tout
aussi petit que l'on veut. Donc
.
D'abord merci de votre réponse! Je suis désolé mais je vois pas du tout le rapport entre la continuité en x et le reste... pour le reste j'ai compris (en admettant ce que je viens de citer!). Pourriez-vous m'expliquer plus clairement svp?
Je ne comprends pas ce que vous n'avez pas compris.
C'est quoi, "le reste" ?
Les deux phrases, celle qui commencent par "Donc pour" et celle qui commence par "Soit maintenant", expriment exactement la même chose.
Le domaine compris entreet
est un ensemble de valeurs
telles que
. Donc en vertu de la continuité,
, c'est-à-dire
est compris entre
et
.
Le premier "le reste" désignait tout le début jusqu'à. "Le reste" que j'avais compris désignait la suite (je suis désolé ça doit pas être très clair...).
J'avais fait le rapprochement!
C'est ça que j'ai pas compris: d'où sortent le alpha et le epsilon? Est ce que epsilon = f(alpha)? Je ne vois pas la logique entre le fait que la fonction soit continue en x et ce qui suit (le fait que pour tout epsilon positif, etc etc)...
Nous voulons démontrer que(1).
Nous allons donc montrer que pour toutchoisi arbitrairement aussi petit que l'on veut,
est compris entre
et
(2), ce qui prouvera (1).
Donc on se fixe un, et en vertu de la continuité en
, on sait qu'il existe un
etc. etc. qui permettent d'arriver à (2).
Mais pourquoi est ce qu'en vertu de la continuité en, on sait qu'il existe un
etc. etc.?
C'est exactement cette partie là que j'arrive pas à assimiler! Je ne vois absolument pas la logique.
C'est quoi, votre définition d'une fonction continue en un point ?
Et toi, quelle est ta définition de la continuité en un point ?
Par définition, la fonctionest continue en
si pour tout
, il existe
, tel que pour tout
vérifiant
, on a
.
C'est ainsi qu'on définie formellement la continuité, et si tu lis bien cette définition, elle signifie ni plus ni moins en langage courant que si on se rapproche aussi près que l'on veut de, la fonction se rapproche aussi près que l'on veut de
.
A contrario, une fonctionest discontinue en
si il existe un
, tel que pour tout
, on puisse trouver un tel
vérifiant
, tel que
.
Par exemple :
1) la fonctionest bien continue en 0, parce que si je choisis
, pour tout
de valeur absolue inférieure à
, j'aurai
.
2) la fonction qui vaut –1 sur les négatifs, +1 sur les positifs, et 0 en 0 est discontinue en 0, parce queest bien tel que pour tout
, si je choisis
, j'ai bien
.
Mais d'où sort cette relation entre alpha et epsilon? Si on avait choisi une autre relation ça marcherait quand même? Je comprends pas...
Pareil, comment vous faites pour trouver?
Pour répondre aux questions précédentes, je "voyais" ce qu'était la continuité / la discontinuité mais je n'étais pas capable de la définir.
Elle sort de nulle part ! La définition dit pour pout toutMais d'où sort cette relation entre alpha et epsilon ?, il faut pouvoir trouver un
tel que la propriété décrite après soit vérifiée. Donc on le cherche, il suffit d'en trouver un pour que ça marche. Si on le trouve, on a démontré que la fonction est continue. D'ailleurs, on aurait pu prendre
en se limitant aux
(car dans la définition, le "tout" du "pour tout
" signifie surtout "pour tout
suffisamment petit").
Cela dit, je veux quepour
. C'est quand même assez immédiat de choisir
?
La définition dit pour pout toutPareil, comment vous faites pour trouver..., il faut pouvoir trouver un
tel que la propriété décrite après soit vérifiée. Donc on le cherche, il suffit d'en trouver un pour que ça marche. Si on le trouve, on a démontré que la fonction est discontinue. D'ailleurs, on aurait pu prendre
(ou même
car dans la définition, la dernière inégalité peut être indifféremment stricte ou large).
Il y a 30 ans, ces définitions étaient au programme de la terminale C.
Bon je pense avoir compris.
Oui je suis d'accord!
Donc je vais essayer de le refaire avec une autre fonction: on cherche à prouver que la fonction qui à x associe 2x+1 est continue en 0. On a | y - x | < a et | f(y) - f(x) | < e si c'est le cas, cad que | 2y + 1 - 1 | < e cad que y < e/2 cad que a = e/2. On a donc trouvé un a tel que les conditions soient vérifiées.
C'est le bon raisonnement?
Oui, mais c'est très mal exprimé, structuré.
On cherche a tel que si |y–0|<a, alors on aura |f(y)–f(0)|<e.
Donc si |y–0|<a, alors |f(y)–f(0)|=2|y|<2a, et il suffit que a=e/2 pour que |f(y)–f(0)|<e.
Pour revenir à la définition, je ne sais pas si tu as vu la définition formelle de ce qu'est une limite, et du verbe "tendre vers".
Mais si une fonction en continue en x, ça veut aussi dite que f(y) tend vers f(x) quand y tend vers x.
Et c'est pour cette raison de continuité que la zone sous la courbe entre x et x+h peut être de plus en plus approximée à la constante f(x), à tout epsilon près aussi petit que l'on veut, en faisant tendre h tend vers 0.
J'ai tout compris! Merci de toutes ces réponses!!Oui, mais c'est très mal exprimé, structuré.
On cherche a tel que si |y–0|<a, alors on aura |f(y)–f(0)|<e.
Donc si |y–0|<a, alors |f(y)–f(0)|=2|y|<2a, et il suffit que a=e/2 pour que |f(y)–f(0)|<e.
Pour revenir à la définition, je ne sais pas si tu as vu la définition formelle de ce qu'est une limite, et du verbe "tendre vers".
Mais si une fonction en continue en x, ça veut aussi dite que f(y) tend vers f(x) quand y tend vers x.
Et c'est pour cette raison de continuité que la zone sous la courbe entre x et x+h peut être de plus en plus approximée à la constante f(x), à tout epsilon près aussi petit que l'on veut, en faisant tendre h tend vers 0.![]()