Matrice avec valeur propre multiple

[invitec2c6cfd4]

J'ai un problème avec une matrice avec valeur propre multiple.
Considérons la matrice B avec un valeur propre lambda de multiplicité k.
Appliquons à la matrice P = [B – lambda*I] la méthode d'élimination Gauss.
Les k dernières lignes de la matrice résultant sont constitués par des zéros.
Mon problème est pourquoi sont toujours les k dernières lignes de la matrice.
Voir l'exemple en PDF.
-----

[invitea6f35777]

Bonjour,

Ce n'est pas toujours le cas. Par exemple

est valeur propre double et avec la méthode d'élimination de Gauss on arrive pas à obtenir que les deux dernières lignes (et donc la matrice soit nulle).

[invitec2c6cfd4]

Bonjour,

Ce n'est pas toujours le cas. Par exemple

est valeur propre double et avec la méthode d'élimination de Gauss on arrive pas à obtenir que les deux dernières lignes (et donc la matrice soit nulle).

Bonjour,

L'exemple de la matrice M ne répond pas à ma question.

Un professeur de mathématique m'a faite apprendre le suivant :

Le matrice B est une matrice non défective et, donc, diagonizable. Par conséquent, après l'élimination de Gauss de (B - 4*I), toutes les files de zéro resteront dans la partie inférieure de la matrice. Ceci est une conséquence de l'algorithme d'élimination de Gauss - toutes les files avec des zéros sont poussées en bas des files qui n'ont pas de zéros.

[invitea6f35777]

Si la matrice est diagonalisable alors oui c'est vrai. L'algorithme de Gauss échelonne la matrice, le nombre de lignes non nulles correspond donc au rang de la matrice (la dimension de l'image n'importe quel endomorphisme associé à la matrice) et le nombre de lignes nulles (qui se trouvent toujours en bas) correspond alors à la dimension du noyau par théorème du rang. Or le noyau de est exactement le sous-espace propre de pour la valeur propre et puisque la matrice est non défective, cette dimension est égale à la multiplicité de la valeur propre par définition.

[A voir en vidéo sur Futura]