Approximation de PI/4 par Somme de Riemann

[invite375bde59]

Bonjour à tous,

J'ai un devoir à effectuer dont voici une partie de l'énoncé :

Utiliser la fonction f(x)= sqrt(1-x²) sur l’intervalle[0;1].
Géométriquement, sans calcul d’intégrales, que vaut l’aire sous la courbe de f sur [0;1] ?
Construire une somme de Riemann à l’aide de cette fonction et donner alors une formule de calcul qui approche la valeur de PI/4.

J'ai trouvé facilement la réponse à la première question (l'aire vaut PI/4), mais la deuxième question me pose problème. En effet, j'ai utilisé la relation qui donne :
où

Comme ici les bornes de l'intégrale sont a=0 et b=1, cela simplifie légèrement la formule, mais je ne vois pas quoi faire sur cette formule pour obtenir une approximation de PI/4.

J'aurais donc besoin d'aide sur cette question. Une piste ou quelques indications seront donc les bienvenues .

Merci d'avance !
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[Bruno]

Salut,

Dans ta somme de Riemann, que vaut ? Par quoi peut-tu l'encadrer (cf Darboux) ? Tu pourrais passer en coordonnées polaires, ça se voit encore mieux.

[Thorin]

Je ne sais pas trop ce qui est attendu.

Naïvement, ben comme tu sais que l'air vaut pi/4, il est vrai de dire que ~ d'où l'approximation, en calculant les premiers termes de la somme.


De manière plus astucieuse, on peut aussi prendre dans ta dernière égalité.

[invite375bde59]

Naïvement, ben comme tu sais que l'air vaut pi/4, il est vrai de dire que ~ d'où l'approximation, en calculant les premiers termes de la somme.

Je suis d'accord avec toi, mais comment as-tu enlevé la limite de n vers l'infini ? Et on ne peut pas obtenir une formule avec une seule variable ?

Personnellement, j'étais quasiment arrivé à la formule que tu as donnée, mais écrite comme ceci :

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Salut,

C'est que si cette limite existe (et elle existe) et vaut (), alors . Autrement dit, tu peux approcher la valeur d'aussi près que tu le désires en choisissant un certain approprié (qui n'est pas unique). Bref, tu peux considérer une certaine valeur de n, calculer la valeur de associée et ainsi avoir une approximation numérique de la valeur de .

[Bruno]

Attention, ce n'est pas parce que cette limite existe pour un certain qu'elle vaut l'aire recherchée ! Il faut d'abord s'assurer que la norme de la subdivision correspondant à ton converge vers zéro.

[Universus]

Salut,

C'est une précision judicieuse, sauf qu'elle est quelque peu 'malicieuse'. En effet, ce commentaire a sa pleine valeur si on prend pour une expression plus générale comme celle donnée dans la dernière égalité du deuxième lien du message initial, soit :



où les forment une partition de l'intervalle sur lequel on intègre. Dans ce cas, si la fonction est intégrable sur cet intervalle (au sens de Riemann) et qu'on prend une suite de partitions telle que , alors oui a pour valeur l'intégrale.

Seulement, dans la situation qui nous intéresse, est une fonction continue (et donc intégrable au sens de Riemann) et les partitions qu'on prend sont de la forme , de telle sorte que pour tout n le pas de la partition correspondante est . Donc, par construction même, avec ce choix de partitions, si la limite de la somme existe (et elle existe puisque est intégrable), elle vaut la valeur de l'intégrale.

Autrement dit, si on cherche à calculer l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle par une limite de sommes de la forme



alors, étant donné ce choix de somme, le pas de la partition tend effectivement vers 0 avec n tendant vers l'infini et donc si la suite des converge, elle converge vers l'intégrale.

Bref, le commentaire est effectivement une précision importante, mais il laisse présager qu'avec des de la forme ci-dessus, il faut encore vérifier que le pas de la partition tend bien vers 0, alors que par construction c'est le cas.

[Bruno]

Bref, le commentaire est effectivement une précision importante, mais il laisse présager qu'avec des de la forme ci-dessus, il faut encore vérifier que le pas de la partition tend bien vers 0, alors que par construction c'est le cas.

Tout à fait, mais c'est toujours mieux de l'écrire ! Pour revenir à l'exo, il était aussi possible, moyennant un passage en polaires, d'utiliser le théorème de la moyenne sur . La valeur moyenne d'un sin² étant 1/2 et l'ouverture angulaire on retombe sur Aire = .