Passer rigoureusement en polaires ?

[inviteeef69825]

Salut à tous !
Je bloque sur une chose qui m'agace puisqu'elle est censée faire partie des choses de base.

En ce moment je fais de la géométrie plane et, bien sûr, je dois souvent passer en polaires. Mais écrire : "on pose x = r.cos(t) et y = r.sin(t)" me gêne. Peut-on montrer l'existence de r et t rapidement, en une phrase si possible, sans avoir à appliquer des théorèmes puissants comme le théorème du relèvement, et sans avoir à montrer à chaque fois que r=sqrt(x²+y²) et t=2.arctan(x/(r+y)) conviennent, ce qui est très lourd ?

J'avais pensé à passer par les complexes, en posant z=x+iy, et en notant r son module et t son argument. Mais c'est un peu de la triche ! comment montre-t-on que tout nombre complexe s'écrit sous la forme z=r.cos(t) + i.r.sin(t) ? L'existence de l'argument a été bâclée en terminale, et rien n'a été refait depuis... help !
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[KerLannais]

Salut,

Je ne pense pas qu'il y ai plus simple que de donner les formules en racine et arctangente mais bon voici quand même une autre démonstration possible:

Soit alors il existe un unique couple tel que


unicité
S'il existe un tel couple alors

Puisque on a nécessairement

On en déduit, puisque ,


Or un angle est uniquement déterminé à près par la donnée de son cosinus et de son sinus, d'où l'unicité.

existence
réciproquement si on pose

alors

on peut définir


Puisque

et que de même

on a donc

Par surjectivité de la fonction cosinus de l'intervalle dans l'intervalle (pour montrer cette surjectivité on peut utiliser le fait que la fonction cosinus est continue, qu'elle vaut et et en , le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure, le fait que la fonction cosinus soit continue et la détermination de ses valeurs en et se démontre à partir de sa définition mais justement cela dépend de la définition du cosinus que l'on prend, à ce propos tu peux consulter le prologue du livre de M. Rudin, "Analyse réelle et complexe") on en déduit qu'il existe tel que . On a alors

On a donc

si , quitte à changer en ou (suivant que ou ) on peut changer le signe de , on peut donc se débrouiller pour que

On a alors, par définition de et de ,
et
d'où l'existence.