Intégrale de f^n(x)

[invite9617f995]

Bonjour,

Dans le cadre d'un DM d'analyse (en L1), je dois résoudre le problème suivant :

Soit f : [0,1] -> R une application strictement croissante telle que f(0)=0 et f(1)=1. Calculer :




Voilà ce que j'ai fait pour le moment :
1) Si on note I_n l'intégrale, on prouve facilement avec le théorème de la moyenne que 0 <= I_n <= 1 pour tout n.
2) De plus, comme f à valeur de [0,1]dans [0,1], on a pour tout t entre 0 et 1 fⁿ⁺¹(t)<fⁿ(t). Par croissance de l'intégrale, on obtient I_n+1< I_n donc la suite (I_n) est décroissante.
Conclusion : (I_n) est décroissante et minorée (puisque minorée) donc elle converge.

Intuitivement, je pense qu'elle tend vers 0, mais je n'arrive pas à le prouver facilement.
J'ai pensé aux gendarmes mais je ne peux pas majorer ma fonction par une constante inférieure à 1 et faire tendre la limite vers 0.
J'ai aussi pensé à et j'ai donc tenté d'étudier mais je n'ai rien trouvé de concluant.

Je pense qu'il doit y avoir un truc bien simple pour le faire mais je le vois pas. Donc si quelqu'un peut me donner un petit indice svp.

Merci d'avance,
Silk
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[invitec317278e]

Salut,

c'est bien d'avoir commencé par montrer la convergence.

Cependant, personnellement, mon approche est complètement différente : je montre directement que ça tend vers 0, et ce en utilisant la définition de la convergence d'une suite "avec les epsilon".

Soit
Alors, par les données sur f, on sait qu'il existe alpha strictement positif tel que
implique

on découpe alors In :


Le premier membre tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Le second est majorable par epsilon.

[invite9617f995]

Ah oui, effectivement ça marche. (Enfin, la deuxième intégrale est plutôt majorable par 1-epsilon non ?)

Merci en tous cas.

[Médiat]

Je ne suis pas fan de la démonstration de Thorin (désolé ) qui mélange une limite et une majoration (et quelques fautes de frappe, me semble-t-il), et je préfère une solution ne faisant appel qu'à une majoration qui permet de calculer la limite (il est vrai que je suis un maniaque) :

, alors on peut démontrer (facilement) :

c'est à dire que



et finalement



Sauf erreur de calcul ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Je ne suis pas fan de la démonstration de Thorin (désolé ) qui mélange une limite et une majoration

ya pas de mal : le raisonnement n'était pas fini, il faut encore se servir de la limite pour finir la majoration, et on peut pousser le vice jusqu'à couper le epsilon en 2

Je complète donc, en corrigeant la manière dont on scinde l'intégrale (j'ai cru à tort que ça allait marcher de la manière la plus simple ) :

on scinde

pour le premier membre :
on peut le majorer par avec , donc, il tend vers 0 et :
par définition de la limite égale à 0

pour :
on a manifestement

au final :

Finalement :


donc il y a toujours une limite, mais je m'en sers pour avoir une jolie majoration.




Edit : en fait, après lecture du reste du post de Médiat, il est clair que je me suis emmerdé à taper tout ça pour rien, il proposait exactement la même chose ^^
Et je profite de l'edit pour un PS : on peut aussi se servir du théorème de Weierstrass (version approximation d'une fonction continue sur un segment par une suite de polynômes convergeant uniformément) pour faire la démo.
Sans compter la théorème de convergence dominée qui donne le résultat immédiatement...
Et le simple fait de savoir qu'une fonction continue sur un segment est approchable par une suite de fonctions en escalier (construction de l'intégrale de Riemann) permet aussi de conclure, si je ne me trompe pas.

[invitec317278e]

Je retire le PS : j'avais en tête un autre énoncé à ce moment là