Bonjour,
Existe t il une propriété de la fonction phi d'Euler permettant de résoudre simplement l'équation ensuivante sachant que
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et de façon générale :
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Cordialement
Anthony
Salut,
déjà, si m est premier, phi(m)=m-1
Ensuite, et bien on connait la formule qui relie phi(m-1) à la décomposition en facteurs premiers de m-1, on peut alors raisonner dessus...
Exact je viens de lire ça sur cet article de wikipédia.Envoyé par Thorin
Salut,
déjà, si m est premier, phi(m)=m-1
La par contre je ne suis pas vraiment.
Prenons l'exemple m=13
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C'est très simple !
Mais alors l'exemple suivant l'est beaucoup moins :
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On peut essayer de résoudre à tâtons en se disant que
Ensuite repérer sur une table toutes les valeurs pour lesquelles l'indicatrice d'Euler vaut 12 mais la ça fait un paquet de candidats :
phi(42)
phi(26) mais comme 27 n'est pas premier on l'élimine
phi(36)
phi(28)
Ou alors tous ces candidats sont solution de l'équation et on aboutit à l'ensemble des solutions
Salut !
les nombres entier tel que Phi(n) = k pour un k fixé sont toujours en nombre fini il me semble. regardons le cas de k=4.
soit n tel que Phi(n)=4
si n=p1^a1 ... Pk^ak
alors Phi(n)= (p1-1)p1^(a1-1) ... (pk - 1)pk^(ak-1)
si l'un des Pi est plus grand (strictement) que 5, alors pi-1 >4 impossible.
de même si pi=5 ou 3, alors ai=1 sinon (pi-1)pi^(ai-1)>4
et de même si pi=2, alors ai<4
ca te laisse un nombre fini d'entier à tester.
les solution de ton equation sont les n+1 tel que phi(n)=4 et n+1 est premier.
Effectivement, carles nombres entier tel que Phi(n) = k pour un k fixé sont toujours en nombre fini il me semble
d'où
Merci pour votre réponse mais je dois avouer que je reste sur le c**
Il n'y aurait donc aucune façon de résoudre proprement ce type d'équation ?
Mais alors si on reste dans l'expérimentation pour résoudre ce type d'équation alors qu'est ce que ça va être quand on va s'attaquer à ça :
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Montrer que
Ensuite, on peut utiliser
(avec)
Prenons par exemple l'équation
on a donc, en remplaçant n par m-1 dans la formule du début de ce post :
pour que cette égalité soit vérifiée, il faut la multiplicité de 7 dans le membre de droite soit 1.
pour ça :
-soit 7 divise m-1 avec une multiplicité supérieure à 2, mais c'est exclut car dans ce cas, 6 diviserait 28.
-soit le 7 vient des "
finalement, m-1=29, ce qu'on exclut.
finalement, il n'existe pas de solution à cette équation.
"Montrer que admet au moins un diviseur premier " >>> bonne nouvel : tous les entier naturel >1 admettent un diviseur premier !
et puis au fond tu t'attendais à quoi ? une formule close avec des racines carré pour exprimer les solutions de l'equation ?
je te rapelle quand même que rien que connaitre la valeur de phi(n) pour tous n, c'est déjà connaitre tous les nombres premier, et c'est quasiement savoir factoriser tous les entiers. (ce n'est pas prouvé dans le cas général, mais il est communement accepter que savoir calculer phi(n) pour un n donné est un problème aussi difficile que savoir factoriser n en nombre premier. et l'algorithme le plus efficace pour calculer phi(n), c'est de factoriser n en nombre premier et d'utiliser la formule que j'ai donné...
On va (dans ce cas) changer l'énoncé :
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Déterminer m tel que
Ce que vous aviez très bien compris au préalable
Le *vous* n'est pas mal non plus quand vous ne connaissez pas (suffisamment) les gens que vous abordez.et puis au fond tu t'attendais à quoi ?
...un premier je ?Je
Suivi du tutoiementte
Ok Ksilver nous sommes donc face à un problème très difficile.rapelle quand même que rien que connaitre la valeur de phi(n) pour tous n, c'est déjà connaitre tous les nombres premier, et c'est quasiement savoir factoriser tous les entiers. (ce n'est pas prouvé dans le cas général, mais il est communement accepter que savoir calculer phi(n) pour un n donné est un problème aussi difficile que savoir factoriser n en nombre premier. et l'algorithme le plus efficace pour calculer phi(n), c'est de factoriser n en nombre premier et d'utiliser la formule que j'ai donné...
Merci de le faire savoir aussi gentiment.
Bien cordialement
Anthony
Anthony_unac, ce que Ksilver voulait vous signalez dans un premier temps et il n'a pas tord est que si 6?+5? (en adoptant votre notation) est premier, alors dans ce cas m=6?+5?
Oui oui j'avais bien compris et je ne doute pas non plus qu'il est parfaitement compris qu'il s'agissait d'un diviseur premier autre que l'éventuel 5?+6? lui même mais bon qu'importe.
Je ne voulez en aucun cas être offensant. si vous ai tutoier, c'est parceque c'est il me semble la tradition sur ce forum. Et ma première remarque était juste une façon ironique de signaler que je ne comprenais pas ce que vous souhaitiez faire : montrer que 5?+6? n'est pas premier, ou en trouver un diviseur premier strict ?. qui sont deux problème extrement distinct (le deuxième est infiniment plus difficile que le premier).
la suite de mon message était juste là pour essayer de vous convaincre que d'une part essayer d'étudier la primalité de grand nombre en calculant Phi(n) n'est pas une bonne idée du tous, et d'autre part d'essayer de vous faire comprendre pourquoi il n'y à effectivement rien de clairement plus simple que ce que j'ai proposé plus haut. (biensur on peut améliorer legement de facon à "automatiser" cette recherche de solution pour un 'k' quelconque, mais fondamentalement, ca va rester le même genre de raisonement...)
