Intégrale par la méthode des résidus

[invite6a5f6d49]

Hello,

J'essaie de montrer que

Je dois intégrer le long du rectangle de sommets -R,+R,-R+2ipi, R+2ipi pour R assez grand.

J'ai donc :

Déjà je ne suis pas sûre des signes et ensuite je ne vois pas comment avancer....
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[invite57a1e779]

D'une part, tu peux calculer l'intégrale sar le contour rectangulaire par la formule des résidus ; d'autre part, cette intégrale vaut : .

Ensuite il faut passer à la limite lorsque .

[invite6a5f6d49]

Merci God's Breath, j'ai du mal avec les paramétrisations.
Mais dans les intégrales qui vont de 0 à 2ipi c'est pas plutôt 2pi?
Ensuite pour calculer par exemple :
il faut d'abord que je trouve les pôles donc je cherche les R et y tels que et j'ai l'impression qu'il n'y a pas de solutions.....

[invite57a1e779]

Mais dans les intégrales qui vont de 0 à 2ipi c'est pas plutôt 2pi?

Si, j'ai effectivement oublier le en modifiant la formule que tu proposais.

Ensuite pour calculer par exemple :
il faut d'abord que je trouve les pôles

NOOOON !

Tu dois calculer l'intégrale sur le rectangle par la formule des résidus, en déterminant les pôles (et les résidus correspondants) de la fonction méromorphe .

Ensuite, tu dois calculer en utilisant l'expression de à l'aide des quatre intégrales sur chacun des côtes du rectangle , mais sans calculer ces intégrales ; il s'agit simplement de déterminer la limite de ces intégrales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6a5f6d49]

Ah d'accord, merci!

Quoiqu'il en soit j'ai vraiment un problème pour déterminer les pôles de f(z), il faut que ch(z)=-ch(a)
En posant z=x+iy j'arrive à sin(y)ch(x)=0 et sh(x)ch(y)=-ch(a). De la première équation j'en déduis que y= 0, pi ou 2pi. Ce qui ne me permet pas d'en déduire x....
Ca doit être tout bête mais je sèche...

[invite57a1e779]

En posant et , l'équation est équivalente à : , qui se ramène à une équation du second degré en ; et cette équation du second degré admet la racine évidente ...

[Armen92]

L'équation s'écrit et possède une infinité de solutions , .
Il faut donc savoir où est pour conclure, non ?

[invite6a5f6d49]

Ah oui j'me souvenais plus qu'il fallait se ramener à une équation du second degré. Donc je trouve 2 racines qui sont et .

J'ai calculé les résidus qui sont sauf erreur de calcul : et
Là où ça se complique pour moi c'est que j'ai bien compris qu'il fallait chercher la limite de I quand R tendait vers l'infini, mais plusieurs choses me gênent :

1) pourquoi ne peut t-on pas directement appliquer le théorème des résidus à avec la formule (où les w ont une partie imaginaire strictement positive).

2) l'intégrale paramétrée par est nulle quand R tend vers l'infini non?
Finalement l'intégrale cherchée revient à prendre la partie imaginaire puis de divisée par 2 la valeur de : lorsque R tend vers l'infini?
Cela voudrait dire que les 3 autres sont nulles ?


Désolée de t'embêter avec mes questions mais je voudrais bien comprendre cet exo...

Edit: Armen92, je n'avais pas vu ta méthode, je n'ai pas compris pourquoi de ch(z)= -ch(a) on a ch(z)= ch(a+ipi)...

[invite57a1e779]

Il est curieux que les cosinus hyperboliques aient disparu...

1) pourquoi ne peut t-on pas directement appliquer le théorème des résidus à avec la formule (où les w ont une partie imaginaire strictement positive).

Tout simplement parce que la fonction à intégrer n'est pas de la forme .

2) l'intégrale paramétrée par est nulle quand R tend vers l'infini non?

Peut-être, mais il faudrait le prouver en majorant proprement cette intégrale.

[Armen92]

1) pourquoi ne peut t-on pas directement appliquer le théorème des résidus à avec la formule (où les w ont une partie imaginaire strictement positive).

2) l'intégrale paramétrée par est nulle quand R tend vers l'infini non?

3) Finalement l'intégrale cherchée revient à prendre la partie imaginaire puis de divisée par 2 la valeur de : lorsque R tend vers l'infini?
Cela voudrait dire que les 3 autres sont nulles ?


Désolée de t'embêter avec mes questions mais je voudrais bien comprendre cet exo...

Edit: Armen92, je n'avais pas vu ta méthode, je n'ai pas compris pourquoi de ch(z)= -ch(a) on a ch(z)= ch(a+ipi)...

1) La formule que vous donnez n'est ni vraie ni fausse tant que l'on n'a pas dit ce que sont P(x) et Q(x)...
D'ailleurs, telle que vous l'écrivez, on ne sait pas quels pôles doivent être pris en compte : dans le demi-plan supérieur ? Inférieur ?
2) Oui, puisque varie dans un compact et que tend vers zéro
3) Les deux intégrales sur les "petits" côtés verticaux tendent vers zéro quand , mais pas celle sur le côté horizontal à l'ordonnée , qui redonne l'intégrale cherchée à un facteur près que je vous laisse le soin de trouver.




PS :
puisque