Truc qui me perturbe dans une démonstration...

[invite7545be06]

Bonjour,

Je suis en train d'essayer de démontrer quelque chose sur les relations d'équivalence, et j'ai un problème à un certain moment. Pouvez-vous me dire si mon raisonnement est correct ? Pour que ce soit plus clair et pour faire abstraction du reste, j'ai réécrit mon problème sous une forme totalement générique :

Je veux démontrer par l'absurde une proposition . Or . Donc je fais l'hypothèse et j'essaie de trouver une contradiction avec d'autres hypothèses de départ qui sont données.

Si je suppose vraie, alors est vraie. Et justement, en supposant vraie, j'aboutis facilement à une contradiction avec une des deux hypothèses données par l'énoncé du problème.

Ma question est : est-ce que ça suffit pour démontrer que est vraie ? Ce qui me perturbe, c'est qu'en faisant ça, je ne tiens pas compte de et de ...
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[invite57a1e779]

Ton raisonnement ne fonctionne pas parce que raisonnes toujours avec la même hypothèse :
1. Si vraie, alors est vraie.
2. Si vraie, alors on obtient une contradiction.
Tu ne peux donc pas enchaîner tes deux démarches pour relier la contradiction obtenue au statut de .

Tu dois raisonner par disjonction des cas :
Si est vraie alors
– ou bien vraie, et on obtient une contradiction ;
– ou bien vraie, et on obtient ... ;
– ou bien vraie, et on obtient ...

[invite7545be06]

Merci pour ta réponse God's Breath. Alors je crois que j'ai un problème, parce que j'arrive à une contradiction pour vraie, mais pour , je crois qu'on ne peut rien conclure...

A moins que j'essaie de prouver quelque chose qui soit en fait faux. La question de départ, c'est :

Soit une relation réflexive et transitive sur un ensemble . Prouver ou réfuter que est une relation d'équivalence (= une relation réflexive, transitive et symétrique) sur .

Ce que je sais, car je l'ai démontré avant, c'est que si est réflexive et transitive, alors l'est aussi. Donc j'ai essayé de démonter l'énoncé par l'absurde, mais le problème (le de tout à l'heure), c'est que si je suppose que n'est pas symétrique, je n'arrive à rien d'utile...

Quelqu'un aurait-il une idée pour ce problème ? Merci

[invite57a1e779]

Il me semble que est symétrique par définition même de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7545be06]

Non, , c'est juste la relation inverse, c'est-à-dire l'ensemble des paires ordonnées

[invite57a1e779]

Donc, si , on a , c'est-à-dire .
On conclut à , et la relation est symétrique.

[invite7545be06]

\o/

C'était juste le truc qui me manquait, pour cette partie j'avais oublié qu'on peut utiliser le fait que et sont inverses !

Donc ça fait une contradiction dans les trois cas ^^

Merci God's Breath !