inégalités espace Lp

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

Etant donnée deux fonctions boréliennes , je souhaiterais montrer que s'il existe C>0 tel que



alors



La réciproque est bien entendu évidente, mais ce sens ne me parait pas simple. Si quelqu'un a une idée ? Merci d'avance.
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[KerLannais]

Salut,

Effectivement c'est une bonne question. Mais en fait ce n'est pas très difficile. Raisonne par l'absurde, demande toi ce que signifie le fait que en soit pas dans , i.e. que le supremum essentiel de sa valeur absolue soit infini. Il est facile de montrer directement à partir de la définition que si alors pour toute constante il existe un ensemble mesurable de mesure non nulle tel que
soit
sur
soit
sur
Puis il est facile de construire une fonction de norme égale à et dont le support est inclu dans ou plus précisément telle que . Il est alors facile de voir que l'on contredit l'hypothèse de majoration.

[invitec1ddcf27]

Merci ! Ton indication m'a permis de rédigé un truc qui me convient

[invitec1ddcf27]

enfin, j'ai rédigé un truc très court qui utilise tranquillement que les boréliens de R^n de mesure non nulle contiennent au moins une boule ouverte.... ca me parait totalement évident, mais c bien vrai ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

Bah non c faut... la théorie de la mesure, ca a des aspects chiants quand même ! mais bon je me suis démerdé autrement