Bonjour tout le monde ! J'ai un petit souci de calcul
Ma matrice de base :
-1 0 1
2 0 2
2 0 0
J'ai trouvé mes trois valeurs propres (en vue d'une diagonalisation) qui sont : 0,1,-2
Mais avec la méthode de Gauss je n'arrive pas a trouvé mon vecteur pour -2
-2 0 1
2 -1 2
2 0 -1
donc
-2x+z =1
2x-y+2z=1
2x-z =1
Entre la 1ère et la 3ème ligne je vois qu'il y a un souci, pourtant j'ai revérifiée un peu tout. Est-ce que qqun pourrait m'aider svp
mais pardon son question ????????????????????
Je suis désolée, c'est vrai que c'est pas très clair ce que j'ai exposé. Mon problème c'est que je dois faire une diagonalisation d'une matrice. J'arrive à trouver les "valeurs propres" de cette matrice mais par contre je bute sur les "vecteurs propres" pour pouvoir enfin diagonaliser ma matrice... Je vois que je me suis trompée un peu plus haut :
pour valeur propre de -2
-2x+2z =-2
2x-y+2z=-2
2x-z =-2
Et là on doit utiliser la méthode de "Gauss", c'est bien ça ?
Ou alors :
-2x+2z =0
2x-y+2z=0
2x-z =0
Et là avec la méthode de Gauss je suis bloquée
J'espère que vous comprendrez que j'ai quelques lacunes qui m'empêchent d'aller plus loin. En tout cas merci de passer du temps sur ce problème.
Pour la valeur propre -2 de A, tu dois trouver un vecteur v tel que Av = -2v.
Ca se réécrit comme: (A - -2 I)v = 0 --> (A+2I)v=0, où I est la matrice identité.
Pour ta matrice A originale ca donne le système:
x+z=0
2x+2y+2z=0
2x+2z=0
à résoudre.
avec une valeur propre -2, ta matrice A+2I sera non inversible. Notamment, A+2I=
1 0 1
2 2 2
2 0 2
Tu vois tout de suite que la colonne 1 et la colonne 3 sont identiques, ce qui peut s'écrire ! 1*C1+0*C2+(-1)*C3=0
Or tu peux montrer que si A+L.I, L une valeur propre de A, admet une relation sur ces colonnes du type, les Ci étant les colonnes de A+L.I, alors c'est que le vecteur
Dans ton cas, on a donc pour A+2I trouvé que 1*C1+0*C2+(-1)*C3=0 ce qui montre que le vecteur (1, 0, -1) est un vecteur propre de A relatif à la valeur propre -2.
Merci de passer du temps encore une fois. Il me reste une-deux petites quéstions avant de vous laisser tranquilles. Donc à partir de la matrice, on calcule les "valeurs propres" avec la méthode de "Sarrus".
1ère question : Si avec la méthode de Sarrus on calcule les valeurs propres, à quoi sert la méthode de calcul du déterminant (je croyais que c'était cette méthode qui nous permettait de trouver les valeurs propres)
2ème question : pour la valeur propre 1
-2x+z=0
2x-y+2z=0
2x-z=0
Si je résous j'arrive à x=0 y=0 z=0 donc vecteur=(0,0,0)
et pour la valeur propre 0
-x+z=0
2x+2z=0
2x=0
Si je résous j'arrive au même vecteur qu'avec la valeur propre 1 donc vecteur=(0,0,0)
Est-ce que ça vous à l'air correct ? Desolé si j'ai l'air d'un cas désespérée mais ça fait des années que je n'ai pas refait de math alors je fais avec ce que je me souviens.
Merci bcp
1) La méthode "Sarrus" est (pour moi) une méthode (peu efficace) pour calculer un déterminant.
Ici ta matrice contient plein de 0, alors autant faire un développement selon une ligne/colonne. Par exemple, un développement selon la 2e colonne de A-XI donnera un déterminant :
det(A-XI)=-X*((-1-X)*(-X)-2*1)=-X*(X²+X-2) =-X*(X-1)(X+2) d'où les valeurs propres 0, 1 et -2
2) Ensuite, le calcul d'un vecteur propre ne peut pas donner le vecteur nul ! Soit tu appliques la méthode que j'ai donné (tu cherches des relations évidentes entre les colonne de A-L.I), soit tu résouds le système : AX=LX.
Pour la vp 1 ca donne AX=X :
(a) -x+z=x
(b) 2x+2z=y
(c) 2x=z (a) équivaut à (c)
tu reporte z dans (b) , d'où 2x+2z-y=0=z+2z-y=3z-y=0n soit 3z=y
Il faut ensuite poser un y (par exemple) pour obtenir UN vecteur propre (car il y a en plein qui sont solutions de ce système : ils forment d'ailleur le sous espace propre lié à la valeur propre 1)
Par exemple, avec y=6 (il faut prendre y différent de 0, sinon on retombe sur le vecteur nul, et ca on n'en veut pas !)
donc z=2 et x=1
Donc le vecteur (1, 6, 2) est vecteur propre de ta matrice pour la valeur propre 1
