fraction rationnelle

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bonjour
votre aide est la bienvenue
je n arrive pas a decomposer les fractions rationnelles
si quelqun peut m expliquer la methode s.v.p
par exemple la fraction x/(1-x^4)
merci de m aidé c est pour un examen
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personne pour me repondre
svp

[invite4ef352d8]

Salut !

tu as du voir la methode en cours non ?

si ce n'est pas le cas, va jetter un oeil sur Wikipédia.

si tu n'y arrive toujours pas, dis nous ou tu bloque... mais ca n'aurait aucun intérêt qu'on te donne la décomposition toute faites

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tout d'abord merci de me repondre
ensuite pour simplifié le denominateur exemple x/(1-x^4) on a (1-x^4)=(1-x)(1+x)(1+x^2)
je bloque pour placer les nominateur a.b .c et d

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

le coeficient de 1/(x-1) et 1/(x+1) sont très facile à trouver : multiplie la fraction par x-1 et fais tendre x vers 1, pareil en multiplicant par x+1 et en faisant tendre x vers vers -1.

pour les deux autres coeficient et bien tu peux déveloper et résoudre le système d'equation obtenue, ou bien répeter la meme démarche en dévelopant dans C (x tend vers +i et vers -i) puis en regroupant les deux termes complexe.

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je mexcuse d etre un peut a coté de la plaque
mais quel fraction tu a multiplié par (x-1)

[invite4ef352d8]

... la fraction que tu veux déveloper en element simple evidement !

tu ecris que x/(1-x^4) = a/(x-1) +... son dévelopement en element simple.

ensuite si tu multiplie tous par (x-1) tu as :

x(x-1)/(1-x^4) = a +(x-1)*(....)

en faisant tendre x vers 1 on trouve que lim (x(x-1))/(1-x^4) = a

et hop on a la valeur de a sans trop d'effort.
il ne reste plus qu'a recommencer en multiplicant par (x+1) pour avoir celle de b etc...

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merci bien ksilver et pour c et d esque c est la meme methode

[invite4ef352d8]

Cette methode marche bien tant que tu as pas (trop) de pole d'ordre 2.

quand tu as un pole en a d'ordre >1 tu peux multiplier par (x-a)^k puis faire la limire quand x->a mais tu récupère que le coef d'ordre maximal... pour avoir les autres il y a plusieur technique plus ou moins complexe, la plus simple (et la moins efficace) étant de déveloper l'expressions théorique et de resoudre le système obtenue pour obtenir les coeficients). tu as aussi des methodes plus efficace, mais je serais pas capable de les expliquer sur un forum.

[invitedb2255b0]

Avant toute chose il faut verifié que ta fraction est bien irreductible. Ensuite, il faut exhiber la partie entière de ta fraction (à l'aide d'une division euclidienne).

Si tu as par exemple alors tu peux effectuer la division euclidienne de P1 par P2, donc tu as P_1(X)=P_2(X)Q(X)+R(X) avec d°R<d°P2.

donc tu as

Et c'est ce dernier membre que tu vas décomposer.

Il faut que ce dernier membre, notons par exemple C(X), soit de la forme suivante:

De telle sorte que chacun des discriminant des polynome du second ordre soit négatifs. C'est à dire en fait, qu'ils ne soient pas factorisable quoi.

Alors, cette fraction admet une decompositions en éléments dit simple, qui est de la forme:


Voilà !
Bon apres ya plein de methode pour trouver les coefficient, la methode la plus brutale c'est de tout réecrire sous le même dénominateur puis d'identifier les coefficient.

D'autre methode plus elaboré existe: Theoreme de Bezout, divisions selon les puissance croissante etc...