Equation du 2nd degré avec valeurs absolues

[invite36a754af]

Bonjour à tous. Je rencontre un petit problème avec une équation du second degré contenant des valeurs absolues. Voici d'abord l'énoncé ainsi que la résolution de l'exercice (FAITE PAR LA PROF). J'énoncerai mon problème juste après...

||x|-|x²|| - 2 = 0

Comme |x²| = |x|², en posant |x| = y l'équation s'écrit

|y-y²| - 2 = 0
<=> y-y² = 2 ou y-y² = -2
<=> y²-y+2 = 0 ou y²-y-2=0

La première équation est impossible (Δ<0 avec y réel).
Pour la seconde, comme Δ=1+8=9, on a y₁ = (1+3)/2=2 et y₂ = (1-3)/2 = -1. Cette dernière valeur est à rejeter car y≥0.

Dès lors, y = |x| = 2 <=> x = 2 ou x = -2.


Bref, je ne comprends pas la partie en rouge. En effet, la théorie ne dit-elle pas que

|x| =

x si x≥0
-x si x≤0

(et non -x si x≥0 comme semble le dire la résolution de l'exercice).

Pourriez-vous me dire si j'ai mal compris ma théorie, ou s'il y a une erreur dans l'exercice? Help
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[invite5150dbce]

Je vais rédiger l'exercice d'une autre manière si ça t'aide à mieux comprendre :
Résolvons l'équation ||x|-|x²|| - 2 = 0 dans IR :
On a alors |x|-|x²| -2= 0 ou -(|x|-|x²|) -2= 0
<=>|x|-|x|² -2= 0 ou -|x|+|x|² -2= 0
<=>|x|²-|x|+2= 0 ou |x|²-|x|-2= 0
On efectue un changement de variable et on pose y=|x|
On a donc le système suivant :
y²-y+2= 0 ou y²-y-2= 0
y=|x|

Résolvons l'équation y²-y+2= 0 dans IR :
Calculons le discriminant de ce trinome :
Delta=1-8=-7<0 donc l'équation n'a pas de solution dans IR

Résolvons l'équation y²-y-2= 0 dans IR :
Calculons le discriminant de ce trinome :
Delta=1+8=9>0 donc l'équation a deux solutions dans IR :
y₁=(1-3)/2=-1
y₂=(1+3)/2=2

Le système est alors équivalent à :
y=-1 ou y=2
y=|x|

<=>
|x|=-1 ou |x|=2
y=|x|

<=>
|x|=2 puisque -1<0 et |x|>=0
y=|x|

<=>
x=2 ou x=-2
y=|x|

[invite5150dbce]

En fait ce que tu ne comprends pas c'est que la valeur absolue est toujours positive.

La définition si dessous le prouve :
|x| =

x si x≥0
-x si x≤0

en effet si x≥0 , x≥0
si x≤0, alors -x≥0
Donc pour tout réel x, |x|≥0

[invite36a754af]

MERCI hhh86!

De fait, je comprends beaucoup mieux pourquoi on rejette le -1 quand je lis ce que tu as fait!

Encore merci, tout est clair maintenant!

[A voir en vidéo sur Futura]