Analyse, limites

[invite5b9bed31]

Bonjour! Je suis actuellement étudiant en pleine révision et je fait des exercices corrigés pour m'entrainer. Le hic c'est que je ne comprend pas le corrigé.
Voici déjà l'énoncé:

On donne g définie sur R et f définie sur R* par:

Déterminer, si elles existent, les limites quand x tend vers 0, x différent de 0 des fonctions f, g, g o f

et voila le corrigé:






...

Je m'arrête ici dans le corrigé car c'est ici que je ne comprend pas. Je comprend très bien pourquoi il fait tout sa mais je ne comprend pas d'ou vien le 1/4 (epsilon). J'ai eu beau me creuser les méninges durant plusieurs heures je ne comprend toujours pas.
Désolé pour la mise en page pas très réussie et merci de vos éventuelles réponse.

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[invite93e0873f]

La définition de la continuité en un point x d'une fonction f est :



On se rend compte que epsilon est arbitraire et que delta dépend généralement de x et epsilon.

Dans des problèmes où on fait un choix explicite d'epsilon, clairement que ce choix ne couvre pas tous les choix possibles d'epsilon ; on cherche donc habituellement en procédant ainsi à montrer que la fonction, pour cet epsilon, ne respecte pas la définition de continuité donnée ci-dessus. Bref, on cherche à montrer que la fonction n'est pas continue en ce point.

Dans ce cas, la valeur précise à donner à epsilon dépend du problème. Le 1/4 a fort probablement été choisi dans la démonstration en sachant que plus tard dans la démonstration, ce choix précis serait peut-être plus 'esthétique'. Bref, a priori, pourquoi précisément 1/4 n'est pas clair sans avoir tout le raisonnement.

Dans ton problème, il est assez clair vu 1) et 2) que g°f n'est pas continue en x=0. L'idée est de rendre ça plus formel en prenant la définition de la continuité (supposant la fonction continue, un raisonnement conduit à une contradiction) ou, autrement, la définition de la discontinuité (on ne fait aucune supposition, mais on démontre directement que la fonction respecte la définition de discontinuité):

[invitec1ddcf27]

j'ai des hallucinations, ou il est bien écrit



dans le "corrigé" ???

[invite5b9bed31]

C'est bien ce qu'il y a de marqué marqué dans mon corrigé mais ce n'est pas exactement quand x tend vers 0 mais

D'après l'énoncé comme x est différent de 0 alors g(x)=0.
Je me trompe dans mon raisonnement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

ca dépend un peu de la définition de la limite qu'on prend. Avec



ca ne va pas marcher.... pour x=0 ! Après, y'a des gens qui prennent pour définition



et la c'est Ok. Mais bon avec la notation que tu utilise, ca doit être la seconde définition qui est considérée.

[invitec1ddcf27]

je fais chier sur ces définitions : mais en fait ce n'est pas anodin ! par exemple avec la seconde défintion de la limite, le caractérisation séquentielle ne fonctionne plus...... il suffit de prendre



et



Ces deux suites tendent vers zéro, mais leur images par g n'ont pas la même limite, 1 et 0 ! En fait dans la littérature francaise, c'est plutot la premiere définiton qui est donnée.