Faire des noeuds dans R4

[invite58a246aa]

Bonjour à tous, j'en profite pour me présenter car je suis nouveau sur le forum. Je suis élève en mathématique spéciale, je prépare un exposé (TIPE) sur la théorie des noeuds et j'ai bien sûr quelques questions vous poser.

Si on définit un noeud comme l'image d'un plongement du cercle unité dans .

Alors pour , il me semble que l'ensemble des noeuds se réduit au noeud trivial. Pour ce qui est de , je sais qu'il existe des noeuds noués (le noeud de trèfle est tricolorable).

Je m'interroge plutôt sur l'existence de noeuds noués dans , avez vous une idée ? Est-ce que la dimension nous permet plus de liberté pour dénouer les noeuds ? Les noeuds noués seraient-ils une spécificité de ?
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[invite93e0873f]

Salut,

En effet, si on définit un nœud comme un sous-ensemble de qui est homéomorphe au (c'est-à-dire, s'il existe une bijection continue et d'inverse continue vers) cercle unité , alors seuls les nœuds dans qu'on cherche à dénouer en restant dans ne le sont pas toujours.

Pour n<3, cela est assez simple à voir si je ne me trompe pas, car la boucle 'nouée' se couperait elle-même (s'intersecterait elle-même), ce qui implique dès lors qu'il n'existe pas de bijection avec le cercle unité, donc pas d'homéomorphisme et donc la boucle n'est pas un nœud. Pour n>3, c'est plus compliqué et franchement je ne sais pas rigoureusement comment on le démontre, mais cela consiste naïvement à dire qu'il y a assez de 'liberté de mouvement' pour dénouer tout nœud. Reste n=3, dans quel cas on sait qu'il existe des nœuds qui ne peuvent être déformés continûment pour obtenir le cercle.

[invitec7c23c92]

Tous les noeuds de dimension 1 dans un espace de dimension 4 (c'est à dire un plongement du cercle S^1 dans R^4) sont triviaux.

Par contre il est possible de nouer la sphère S^2 dans R^4....

[invite58a246aa]

Merci à vous deux pour vos réponses, les informations sur le sujet ne sont pas légion.

Désolé d'avoir mis si lontemps à vous répondre. Je savais effectivement que dans , il n'y a pas de noeud noué, quoique la démonstration ne me parrait forcément simple, il faudrait que j'y réfléchisse plus en profondeur.

Quant à , j'ai une confirmation de mon professeur de mathématiques, qui a demander à un ancien élève, il n'y a en effet que des noeuds triviaux dans , je n'ai cependant aucune idée de la preuve. Connaîtriez-vous un lien sur lequel je trouverais une preuve de ce résultat ?

Je n'ai pas l'intention de la comprendre à fond (je ne pense pas avoir le nivaux, enfin on verra ...), mais ce serait juste pour me donner une idée de sa difficulté.

Merci encore, bonne journée.

[A voir en vidéo sur Futura]