Fonction non bornée sur C

[Bartolomeo]

Bonjour,

pourquoi cette fonction n´est elle pas bornée
?

J´aimerais une explication sans le théorème de Liouville.

Cordialement.
Bart
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[invite9617f995]

Hmm, j'ai pas encore fait d'analyse complexe mais si la définition de fonction bornée sur C est semblable à celle sur R alors il faut se souvenir que sin(ix)=i*sh(x) où sh est le sinus hyperbolique.

Donc ici, si on prend z de la forme z=ix avec x dans R (imaginaire pur), f(z)=1-sh²(x). Or sh n'est pas bornée sur l'ensemble des réels donc on a déjà f(z) non bornée sur la droite des imaginaires purs.

Par contre, j'aimerais bien connaître l'énoncé exacte de la définition d'une fonction bornée sur C. Est-ce bornée en module ?

[invite4ef352d8]

Bonjour,
Silk >>> oui, borné en module.

[invite9617f995]

Ah merci beaucoup Ksilver ...
J'avais eu beau cherché, je n'avais pas trouvé, même sur Wikipédia, ce qui est étonnant pour une notion aussi élémentaire et simple à comprendre ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited6ae7662]

Retiens qu'une fonction de ( E , N ) de dimension finie est bornée ssi
Il existe M > 0 tel que pour tout x appartenant à E, N(f(x)) < M

Comme toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, f sera bornée pour toutes les normes.

Dans cette exemple, on est sur C de dimension 2, donc tu choisis une norme ( le module par exemple ) et tu montre que f est bornée pour cette norme