Questions en théorie des groupes

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai deux petites questions (dans la suite, tous les groupes que je considère sont finis) :

1) Si j'ai un groupe G, A et B deux sous-groupes normaux d'intersection vide, est-il vrai qu'alors A est égale au centralisateur de B dans G (et inversément) ? Je ne parviens pas à le montrer ni à trouver de contre-exemple ...

2) Je considère un sous-groupe H de Sn (groupe symétrique à n éléments) primitif agissant fidèlement sur un ensemble X et A,B deux sous-groupes normaux minimaux distincts (minimaux c'est à dire qu'ils ne sont pas triviaux et qu'ils ne contiennent aucun sous-groupe normal non trivial de H)

On peut alors montrer que A et B sont nécessairement isomorphes, sont strictement transitifs sur X, sont conjugés par le même élément x (c'est à dire xAx^-1 = B et de même en inversant B et A), et enfin que A est égal au centralisateur de B dans H (et inversément).

Savez-vous comment montrer dans ce cas que le groupe (H,x) (engendré par H et x dans Sn) admet un unique sous-groupe normal minimal, à savoir le produit direct de A et de B ?

Je ne parviens pas à voir ça ...

merci pour toute piste éventuelle
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[invite4ef352d8]

Salut !


1) j'imagine que tu veux dire d'intersection trivial plutot ^^
sinon le résultat est faux : prend pour G un groupe abélien.


pour la 2) euh... faudrait déjà que je réfléchisse à pourquoi les choses que tu énonce sont vrai et il est un peu tard pour ca ^^désolé...

ceci dit il y a un truc pas claire dans ce que tu dis : c'est quoi X ?? un sous ensemble de [1,n] ? ou alors on se donne une action fidèle de H sur un ensemble quelconque qui n'a rien a voir avec le fait que H est un sous groupe de Sn ?
oh et qu'entend tu par sous groupe "primitif" ?

[Bleyblue]

D'intersection triviale oui pardon.

1) Oui si G est abélien c'est faux, mais pour le cas ou il ne l'est pas ? Je travaille ici avec des groupes de permutation, qui ne sont pas souvent abélien.

2) Pour les résultats préliminaires en fait ce n'est pas immédiat, ça prend quelques lemmes intermédaires.

X = [1,n] en fait, pardon
Je me suis un peu emmêlé les pinceaux en rédigeant le message

Pour les groupes primitifs :

Un groupe G agissant sur un ensemble Y est dit primitif si Y n'admet pas de partition non triviale (non réduite à un seul ensemble) dont les éléments sont tous conservés par l'action de G (ie x est dans un élément de la partition si et seulement si xg l'est quel que soit g dans G)
Il existe toute une série de théorème qui donnent les propriétés des groupes primitif.

Je suis en fait en train d'essayer de comprendre le fameux théorème de O'Nan-Scott sur les sous-groupes de Sn, c'est assez ardu

merci !

[invite4ef352d8]

1)Oui si G est abélien c'est faux, mais pour le cas ou il ne l'est pas ? Je travaille ici avec des groupes de permutation, qui ne sont pas souvent abélien. >>> deux remarques :

-dans ce cas prend n'importe qu'elle groupe non abélien qui admet un sous groupe abélien suffisement non trivial pour qu'on puisse construire un contre exemple dedans...

-si tu te place précesement dans le cadres des groupes symétrique ils sont certe rarement abéliens, mais ils ont aussi très peu de sous groupe normaux... donc l'énoncé n'a aucun sens pour ses groupes... (la seul facon de prendre deux sous groupe normaux dans Sn dont l'intersection est trivial c'est deux groupe trivial ou un groupe trivial et An et un groupe trivial et Sn. dans les 3 cas seul un vérifie ta conclusion...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Certes, si on considère des groupes non triviaux dans Sn ma propriété n'a pas beaucoup d'intérêt.

Mais, disons, s'ils s'agit de deux sous-groupes normaux non triviaux de H (qui est lui même un sous-groupe de Sn), avec H non abélien.

Je sais que je n'arrête pas de rajouter des conditions mais c'est que la propriété n'apparait pas explicitement quelque part, je me demande juste si elle est vraie dans certains cas particuliers de manière à pouvoir avancer dans la compréhension de la démonstration du théorème

J'essaye de construire des contrexemples mais sans grand succès

merci

[invite2e5fadca]

Je ne sais pas si tu as cherché, mais sur internet on trouve
http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/tal...es/ONStalk.pdf
ou la majorité de tes questions ont des réponses, mais il y a quelque fois des hypothèses en plus.

[invite4ef352d8]

"(qui est lui même un sous-groupe de Sn)" Ceci n'est pas une condition : tout groupe est un sous groupe de Sn pour un certain n. et je t'ai déjà répondu pour l'hypothèse "non abélienne".


non et puis même ce genre de proposition n'a en l'état aucun raison d'être vrai pour au moins deux raison :

-il n'y a aucune raison valable pour qu'un groupe et son centralisateur soit d'intersection réduite à {0} (c'est le cas si le centre du sous groupe est trivial seulement)

-si jammais tu as deux sous groupes A et B qui vérifie effectivement ta propositon alors il suffit de prendre n'importe qu'elle sous groupe distingué de A et/ou de B (l'un des deux etant stricte) pour avoir un contre exemple à la proposition.

[Bleyblue]

Oui c'est précisément cette démonstration que je suis occupé à lire GogetaSS5.
Mais Wilson n'est malheureusement pas réputé pour ses preuves très détaillées (en revanche c'est le n°1 mondial pour les groupes simples finis )

"(qui est lui même un sous-groupe de Sn)" Ceci n'est pas une condition : tout groupe est un sous groupe de Sn pour un certain n. et je t'ai déjà répondu pour l'hypothèse "non abélienne".

Evidemment, c'est le théorème de Cayley. Mais je ne comprend pas ton histoire moi.
Tu es en train de prétendre que si :



et G normal dans H alors G est isomorphe à un sous-groupe normal d'un certain ? Je ne pense pas que ce soit vrai ...

[invite4ef352d8]

tu n'as pas parlé d'être un sous groupe normale de Sn. (de toute facon les sous groupes normaux de Sn, on la déjà dit ca cours pas les rues)

ce que j'ai dit, c'est que la derniere version de ta proposition c'est de prendre "H un sous groupe de Sn" puis A et B des sous groupe distingué de Sn etc...

moi ce que je te dis c'est que ca reviens à dire on prend pour H n'importe quel groupe et que je t'ai déjà donné des contres exemple et des raisons pour que ca soit faux pour un groupe quelconque.

sans parler du contre exemple encore plus stupide :

on prend A=B={1} dans n'importe quel groupe : ils sont distingué, d'intersection trivial et pas le centralisateur l'un de l'autre.

[Bleyblue]

D'accord je comprend, désolé j'ai lu un de tes messages ci-dessus un peu trop rapidement

Je vais quand même essayer de construire explicitement un contrexemple (par curiosité)
Contrexemple non-trivial j'entend.

merci