Série entière avec Convergence absolue et D'Alembert

[invitea364b12b]

Bonjour.

Je suis étudiant en Prépa math spé ATS (je viens de finir ouf!)

Je me pose une question depuis quelque temps, pas moyen de trouver de réponse.

Etant donné une série entière . On veut étudier sa nature.

On étudie dans un premier temps la convergence absolue. Donc on étudie la série



A partir de là on applique la règle de d'Alembert :



Si la série converge absolument, et donc converge.

Mais si la série ne converge pas absolument, mais cela ne veut pas pour autant dire qu'elle diverge.

Pourtant dans tous les exercice que j'ai fais sur les série entière jusqu'à maintenant on a toujours procédé de cette façon, en disant que la série divergeait si on est dans le 2e cas.

J'avais même posé la question à mon prof de math mais j'ai oublié ce qu'il m'a dis et pas moyen de me rappeler un moyen de justifier qu'on peut dire que la série diverge si elle ne converge pas absolument...

Quelqu'un peut-il venir à mon aide ?
-----

[invite1e1a1a86]

la série diverge grossierement puisque le terme ne tend même plus vers 0.

à toi de le montrer

[invite392a8924]

Bonjour.

Je suis étudiant en Prépa math spé ATS (je viens de finir ouf!)

Je me pose une question depuis quelque temps, pas moyen de trouver de réponse.

Etant donné une série entière . On veut étudier sa nature.

On étudie dans un premier temps la convergence absolue. Donc on étudie la série



A partir de là on applique la règle de d'Alembert :



Si la série converge absolument, et donc converge.

Mais si la série ne converge pas absolument, mais cela ne veut pas pour autant dire qu'elle diverge.

Pourtant dans tous les exercice que j'ai fais sur les série entière jusqu'à maintenant on a toujours procédé de cette façon, en disant que la série divergeait si on est dans le 2e cas.

J'avais même posé la question à mon prof de math mais j'ai oublié ce qu'il m'a dis et pas moyen de me rappeler un moyen de justifier qu'on peut dire que la série diverge si elle ne converge pas absolument...

Quelqu'un peut-il venir à mon aide ?

Salut,

L'étude de la nature d'une série entière est l'une des questions importantes en Analyse mathématique.

Étant donné une série entière de la forme:



Pour étudier la convergence de cette série en commence par:

1- la convergence uniforme : Soit la série



utilisant les critères(D'Alembert, Cauchy, intégrale , comparaison ) si la série converge donc la première est dite converge uniformément,
sinon, la première est dite semi-convergente((pas spécialement diverge!!!)).

2-Considérant la série



essayons d'utiliser des théorèmes permettant de voire la nature de cette série , paris eux nous avons:

le théorème d'Abel.
le théorème de Dirichlet.

3-si la série est converge donc nous dirons que notre série de départ est converge ou semi-converge
sinon notre série est divergente.

[invite1e1a1a86]

la question n'etait pas specialement là (et il manque les valeurs absolues autour des an) mais sur: qu'est ce qui se passe après le rayon de convergence

de plus, si la série entiere ne converge pas absolument, il n'y a aucune raison pour qu'elle soit semi-convergente

et le troisieme point c'est "si la série converge on dit qu'elle converge" cool non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite392a8924]

la question n'etait pas specialement là (et il manque les valeurs absolues autour des an) mais sur: qu'est ce qui se passe après le rayon de convergence

de plus, si la série entiere ne converge pas absolument, il n'y a aucune raison pour qu'elle soit semi-convergente

et le troisieme point c'est "si la série converge on dit qu'elle converge" cool non?

pour le premier point : le rayon de convergence est le domaine où la série converge , nous l'utilisons surtout quand on applique le théorème d'Abel.

Pour le deuxième point, une série entière a les cas suivants:
la série est convergente.
la série diverge.
la série converge absolument -----> la série converge.
la série ne converge pas absolument mais elle converge sans la valeur absolue donc elle est semi-convergente.
la série ne converge n'est absolument n'est sans | | , donc elle est divergent.


pour ton troisième point , j'ai rien compris ce que tu veux.!!!!!!!

[invite1e1a1a86]

pour une série normale oui.

mais ici on a une série entiere de rayon de convergence R
pour |z|<R , ça converge (absolument!)
pour |z|>R, ça diverge (grossierement!)
pour |z|=R, on ne peut rien dire, ça peut diverger, semi-converger, converger absolument... et ça dépend du z (z=iR, z=R, z=-R....)

pour le 3eme point je parlais de ta phrase: "si la série est converge donc nous dirons que notre série de départ est converge ou semi-converge
sinon notre série est divergente."

[invite392a8924]

pour une série normale oui.

mais ici on a une série entiere de rayon de convergence R
pour |z|<R , ça converge (absolument!)
pour |z|>R, ça diverge (grossierement!)
pour |z|=R, on ne peut rien dire, ça peut diverger, semi-converger, converger absolument... et ça dépend du z (z=iR, z=R, z=-R....)

pour le 3eme point je parlais de ta phrase: "si la série est converge donc nous dirons que notre série de départ est converge ou semi-converge
sinon notre série est divergente."

salut,

premièrement on n'a pas une série normale et ...

d'autre part tu sais bien que la série entière est un cas particulier d'une série de fonctions.

Pour faire fin à cette question voici le théorème suivant:

1*Si une série entière converge pour une certaine valeur de non nulle, elle converge absolument pour toute valeur de telle que .

2* si la série diverge pour une certaine valeur de , elle diverge pour tout te que
.

ce théorème est le théorème d'Abel.

Tu peut consulter autant de livres russes qui traitent ce genre de problèmes d'analyse mathématique.


спасибо.