demonstration

[invited3afbb7e]

Comment démontrer que f(f^-1(B)) C B

et que A C f^-1(f(A))?

merci d'avance
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[Seirios]

Bonjour,

Pour la première inclusion, tu peux dire que si , alors il existe tel que . Or comme , on a , d'où et l'inclusion.

Je te laisse essayer la seconde inclusion.

[invite9617f995]

"-1" représente bien ici la réciproque d'une application bijective non ?

Donc dans ce cas là, il me semble que la définition de la réciproque (l'unique application f^-1 telle que f^-1(f(x))=f( f^-1(x))=x) suffit pour une démonstration rapide non ?

[invite1e1a1a86]

non, f^-1 n'est pas la réciproque dans ce cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Est-ce l'inverse alors ?

[invite1e1a1a86]

non plus.

ici, A et B sont des ensembles

f(A) = ensemble image de A="les f(x) quand x parcourt A"
f^-1(B)=ensemble antécédent de B="tous les antecedents de y quand y parcourt B", f pas forcement bijective.

si f est bijective (de réciproque f^-1) alors f^-1(B) est bien l'ensemble antecedent de B pour f et aussi l'ensemble image de B par f^-1


exemple:
pour cos

cos(]-Pi,Pi[)=]-1,1[
cos^-1([-1,1])=R

[invite9617f995]

Ok, je comprends mieux maintenant ...

Merci beaucoup