derivabilité - continuité

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,
J'ai des petits problème avec les conditions de continuité et dérivabilité mais j'aimerai comprendre une bonne fois pour toute.
J'espere que vous pourrez m'aider.

1°) deja sur l'exemple d'une fonction triangle:

y=x y=-x

Cette fonction est bien continue car il n'y a pas d'interruption, elle est aussi dérivable mais par morceaux car il y a 2 dérivée possible au point d'abscisse 1 ??

Elle est donc de classe C1 ?

Sur cette exemple simple je ne suis deja pas à l'aise ...

2°) Ensuite sur un probleme plus compliqué (qui est celui qui m'interesse vraiment):



Je comprends que et doivent forcement être derivable pour que cette equation existe (ou est un sens) par contre es ce que la derivabilité impose une condition sur la continuité?

et doivent être de classe C1?


3°) dernier chose sur mon probleme, le document indique que nous devons avoir:

= { }

avec

= { }

A présent je ne comprends plus grand chose, je pense que ce qui est inscrit ici veut dire la meme chose que pour le 2°) mais avec plus de formalisme par rapport aux espaces où l'on travail.

déjà pour
je pense qu'il y a une erreur est que c'est
et que cela veux dire que la norme de
doit être bornée mais pourquoi?
et quel lien avec 2°) et 1°)

J'ai cru comprendre qu'il y a une explication à faire avec l'inegalité de Cauchy.... qui permet de dire que qqch est bornée mais bon sans conviction!

J'espere que vous pourrez m'aider pour toutes ces choses car j'aimerai vraiement comprendre une bonne fois pour toute.

Je vous en remercie d'avance!
-----

[invite2bc7eda7]

Bonjour,

Tout d'abord sache que mes connaissances sont très limitées mais je vais essayer de te donner une réponse...

Pour le 1)

je ne sais pas si c'est fait exprès, ta fonction n'est pas definie pour x=1... elle est définie sur deux ouverts, ]0;1[ U ]1;2[ ...

La fonction est effectivement continue. En revanche il y a un probleme de dérivabilité au point x=1 on peut dire que la dérivée à gauche (en 1) vaut 1 et que la dérivée a droite (en 1) vaut -1 donc on peut conclure que la fonction n'est pas dérivable en 1 (si elle était définie en 1...). En revanche la fonction est Coo par morceaux sur ]0;1[ et sur ]1;2[.

Pour le 2)

je n'ai que très rarement manipulé le gradient, mais pour integrer une fonction, il faut qu'elle soit continue ( au moins par morceaux...) donc, si je ne dis pas de bêtise, il faut que tes fonctions psi et phi soient C1 pour que l'égalité ait un sens.

Pour le 3)

mes connaissances en la matière frisent le zero absolu, je ne pourrai donc rien ajouter...


J'espère avoir été clair et ne pas avoir dit de bêtise,

bonne après midi,

Mystérieux1

[invite9c7554e3]

Tout d'abord merci beaucoup d'avoir repondu Mysterieux1 car je suis tres content d'avoir des reponses sur ce sujet qui me tient particulierement à coeur

Pour le 1)
je ne sais pas si c'est fait exprès, ta fonction n'est pas definie pour x=1... elle est définie sur deux ouverts, ]0;1[ U ]1;2[ ...

en effet c une erreur elle est bien definie sur [0;1] U [1;2]

La fonction est effectivement continue. En revanche il y a un probleme de dérivabilité au point x=1 on peut dire que la dérivée à gauche (en 1) vaut 1 et que la dérivée a droite (en 1) vaut -1 donc on peut conclure que la fonction n'est pas dérivable en 1 (si elle était définie en 1...).

Donc si j'ai bien compris:
Cette fonction est dérivable sur [0;1] et [1;2]
mais pas sur [0;2] car en 1 il y a deux derivée?
donc la fonction n'est pas de classe C1 ?

En revanche la fonction est Coo par morceaux sur ]0;1[ et sur ]1;2[.

Je n'ai pas du tout compris cela...... ( fonction est Coo par morceaux ) ?

Pour le 2)
je n'ai que très rarement manipulé le gradient, mais pour integrer une fonction, il faut qu'elle soit continue ( au moins par morceaux...) donc, si je ne dis pas de bêtise, il faut que tes fonctions psi et phi soient C1 pour que l'égalité ait un sens.

Ok nikel, mais si une fonction est continu par morceaux on aura pas unicité de la primitive sur le domaine, non? c'est à dire pour chaque morceaux on a une primitive mais pas une sur le domaine complet?

Pour le 3)
mes connaissances en la matière frisent le zero absolu, je ne pourrai donc rien ajouter...
J'espère avoir été clair et ne pas avoir dit de bêtise,
bonne après midi,
Mystérieux1

Merci d'avoir pris le temps de repondre, tu as été très clair dans tes explications,

bonne Aprem

A+

[invite2bc7eda7]

Bonjour,

la fonction est donc définie sur ]0;2[ (donc il faut donner une valeur pour x=1, je suppose que f(1)=1... ou alors il faut la definir autrement, pour 0<x<=1 alors... etc)

Coo signifie C infini... est est Coo sur ]0;1[ et Coo sur ]1;2[ (je mets des ouverts car je ne sais pas trop comment ta fonction est définie...) car la fonction est polynomiale.

Pour le 2) il me semble que si, c'est la relation de chasles (sauf grossiere erreur de ma part...)

Bonne apres midi,

Mystérieux1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

Salut

pour integrer une fonction, il faut qu'elle soit continue ( au moins par morceaux...) donc, si je ne dis pas de bêtise, il faut que tes fonctions psi et phi soient C1 pour que l'égalité ait un sens.

Tout dépend de l'intégrale que l'on considère... D'autant que par la suite, il est fait mention de la notation qu'on utilse plus facilement avec l'intégrale de Lebesgue.
Par exemple, si et sont dans , on peut très bien donner un sens à l'intgrale

Puisque par l'inégalité de Holder, on a

(Je note le gradiant... et une remarque est que la condition gradiant est dans L^2 signifie en fait que ces fonction sont dans un espace de Sobolev )

[invite9c7554e3]

la fonction est donc définie sur ]0;2[ (donc il faut donner une valeur pour x=1, je suppose que f(1)=1... ou alors il faut la definir autrement, pour 0<x<=1 alors... etc)

Coo signifie C infini... est est Coo sur ]0;1[ et Coo sur ]1;2[ (je mets des ouverts car je ne sais pas trop comment ta fonction est définie...) car la fonction est polynomiale.

voici en pièce jointe1 nommée fonction la fonction à laquelle je m'interesse

Pour le 2) il me semble que si, c'est la relation de chasles (sauf grossiere erreur de ma part...)
Bonne apres midi,
Mystérieux1

voici en piece jointe2 nommée fonction continue par morceaux si j'ai bien compris:

primitive du 1er morceau =
primitive du 2eme morceau =
primitive du 3er morceau =

donc la primitive de la fonction sur notre domaine:

F= + +

soit

F=


?

[invitec1ddcf27]

j'avais pas tout lu... oui en effet tu as raison



et l'espace de Sobolev dont je parle n'est autre que

[invite9c7554e3]

Salut Xav

merci beaucoup de prendre le temps de repondre

tu as l'air de t'attaquer à la question 3°) donc autant dire qu'il faut y aller mollo car je n'ai de connaissance de base sur ces espaces de Sobolev....

Par exemple, si et sont dans , on peut très bien donner un sens à l'intgrale

Tout d'abord je ne comprends pas vraiment qu'es ce qu'un espace de Sobolev (bien que j'ai regardé wiki et des truc sur le net) donc en quelques mot pourrais tu m'expliquer la différence avec un espace vectoriel....

et du coup que veux dire que et sont dans

??

Puisque par l'inégalité de Holder, on a

(Je note le gradiant... et une remarque est que la condition gradiant est dans L^2 signifie en fait que ces fonction sont dans un espace de Sobolev )

la non plus je ne comprends pas vraiment, que veux dire par exemple?

en fait je crois que je ne comprends pas car c'est lié à ce qu'il y a au dessus

j'avais pas tout lu... oui en effet tu as raison



et l'espace de Sobolev dont je parle n'est autre que

d'accord donc si je comprends bien cela veut dire que la norme de est bornée? donc que c'est une fonction continue?

pourquoi est on obligé de passer par des espaces de Sobolev pour parler de tour cela?

[invitec1ddcf27]

Pardon, j'ai l'impression que je m'adresse à un physicien, je me trompe ?

Bon alors, d'abord je pense qu'on ne considére dans ton problème que des intégrale au sens de Lebesgue et non de Riemann. Bon, donc on peut oublier les histoires de continuité et si tu ne connais pas la théorie de l'intégrale de Lebesgue, écrit les intégrales formellement sans te soucier de leur définition : l'important c'est de vérifier qu'on définit des quantités FINIES !

Ceci dit, l'espace est l'espace des fonctions qui vérifient



Cette espace est muni du produit scalaire



Et il est donc normé, muni de la norme définit par



Cette espace est un espace vectoriel, car on peut vérifier que si et , alors .

Par ailleurs, puisqu'il est muni d'un produit scalaire, on a l'inégalité de Cauchy-Schwartz qui donne




Alors ensuite l'intérêt d'introduire un espace de Sobolev : tu es amené à considérer des équations dans lesquelles interviennent des dérivées. Et tu va passer ton temps à intégrer ces fonctions ainsi que leur dérivées. L'espace de Sobolev est définit par

(ce qui est équivalent à la définition que tu donne la haut). Ainsi, on peut justement donner un sens à des intégrales du type



puisque




Cela est une première raison de l'introduction de ces espaces : manipuler des intégrales contenant des dérivées. Ensuite, il y a des raisons plus profondes : les solutions d'équations aux dérivées partielles ne sont en générales pas régulière (pas continues, pas C^1...) et mais sont justes dans ces espaces de Sobolev.

[invitec1ddcf27]

(ceci dit, si vous utilisez l'intégrale de Riemann, c'est moralement la même chose : bon il faut de la continuité et de la classe C^1 pour le gradient, mais l'important est que l'intégrale soit finie... donc ce que j'ai raconté dans le message précédent ne change pas)

Ah oui, et puis il y a un abus de notation... est une fonction vectoriel. En notant

[invitec1ddcf27]

En notant une norme quelconque du gradiant dans R^3, on pose

[invite9c7554e3]

Pardon, j'ai l'impression que je m'adresse à un physicien, je me trompe ?

Bon alors, d'abord je pense qu'on ne considére dans ton problème que des intégrale au sens de Lebesgue et non de Riemann. Bon, donc on peut oublier les histoires de continuité et si tu ne connais pas la théorie de l'intégrale de Lebesgue, écrit les intégrales formellement sans te soucier de leur définition : l'important c'est de vérifier qu'on définit des quantités FINIES !

Ceci dit, l'espace est l'espace des fonctions qui vérifient



Cette espace est muni du produit scalaire



Et il est donc normé, muni de la norme définit par



Cette espace est un espace vectoriel, car on peut vérifier que si et , alors .

Par ailleurs, puisqu'il est muni d'un produit scalaire, on a l'inégalité de Cauchy-Schwartz qui donne




Alors ensuite l'intérêt d'introduire un espace de Sobolev : tu es amené à considérer des équations dans lesquelles interviennent des dérivées. Et tu va passer ton temps à intégrer ces fonctions ainsi que leur dérivées. L'espace de Sobolev est définit par

(ce qui est équivalent à la définition que tu donne la haut). Ainsi, on peut justement donner un sens à des intégrales du type



puisque




Cela est une première raison de l'introduction de ces espaces : manipuler des intégrales contenant des dérivées. Ensuite, il y a des raisons plus profondes : les solutions d'équations aux dérivées partielles ne sont en générales pas régulière (pas continues, pas C^1...) et mais sont justes dans ces espaces de Sobolev.

merci beaucoup pour tous cela car je crois avoir compris pas mal de chose en quelques minutes alors qu'en fouillant sur le net j'ai rien compris en plusieurs heures!!!
(il faudra quand meme que je relise tout cela à plusieurs reprises)


juste une chose pour donner du sens à:



il ne faut pas de dire :





car en faite je ne comprends pas pourquoi il faut que l'on donne une conditions sur U et sa derivée plutot que seulement à la derivée puisque dans notre fonction:

on ne s'interesse qu'a des derivée

[invitec1ddcf27]

Alors pourquoi donner une condion sur u pour avoir une condition sur son gradient..... C'est une bonne question. En fait, dans



on peut omettre la condition sur u. Par exemple, dans un domaine borné, on montre assez "facilement" l'inégalité de Poincaré



dès que . De sorte que si la gradient est dans L^2, la fonction l'est aussi.

Je pense que t'as compris que pour donner un sens à



il faut que et , ce qui est bien vrai dès que !!

[invite9c7554e3]

1°) donc si j'ai bien compris

il faudrait normalement mettre une condition d'appartenance à L² que sur le gradient.

Neanmoins si on met la condition L² sur la fonction alors ca veux dire quelle est aussi sur le gradient puisque on a l'inegalité de poincaré.

Donc en conclusion on peut mettre la condition sur un des 2 ca revient au meme , donc pour ecrire cela on met la notation H qui veut dire condition sur u ou sur son gradient ?

(j'espere avoir compris...?)

2°) une derniere chose:

j'ai pas trop compris pourquoi on a introduit ces espaces, on aurait pas pu se debrouiller simplement en disant que la fonction doit etre de classe C1 ?

[invitec1ddcf27]

[B]1°)

1) si on met la condition L² sur la fonction alors ca veux dire quelle est aussi sur le gradient puisque on a l'inegalité de poincaré.

2) pourquoi on a introduit ces espaces, on aurait pas pu se debrouiller simplement en disant que la fonction doit etre de classe C1 ?

1) c'est l'inverse, si le gradient est dans L², la fonction aussi. Donc on pourrait se limiter à grad(u) dans L². (c'est du détail sur les Sobolev...)

2) ca fait tellement longtemps que je ne me sert plus de l'intégrale de Riemann... mais il me semble qu'il ne suffit pas que soient C^1 sur S pour que l'intégrale



existe bien ! Il faudrait des conditions supplémentaires sur S et sur les fonctions. Franchement, l'intégrale de Lebesgue et la théorie des espaces L^p, ca parait abstrait au début, mais à l'usage c'est vraiment plus agréable à manipuler !

[invite9c7554e3]

1) c'est l'inverse, si le gradient est dans L², la fonction aussi. Donc on pourrait se limiter à grad(u) dans L². (c'est du détail sur les Sobolev...)

2) ca fait tellement longtemps que je ne me sert plus de l'intégrale de Riemann... mais il me semble qu'il ne suffit pas que soient C^1 sur S pour que l'intégrale



existe bien ! Il faudrait des conditions supplémentaires sur S et sur les fonctions. Franchement, l'intégrale de Lebesgue et la théorie des espaces L^p, ca parait abstrait au début, mais à l'usage c'est vraiment plus agréable à manipuler !

ah d'accord, il y a un truc que j'a zappé alors:

on ecrit cela:


mais ceci suffit (demonstration que tu m'a montré plus haut avec inegalité de .....):


du coup je n'ai pas compris pourquoi on a quand meme le



puis la conditions sur le gradient suffit


(au passage que veut dire ce signe | )



ps: merci de ton aide

[invitec1ddcf27]

lol je croyais que c'était une notation universelle. Ca veut dire "telle que" : les fonction u dans L² telles que grad (u) est dans L²

Donc on a

[invite9c7554e3]

lol je croyais que c'était une notation universelle. Ca veut dire "telle que" : les fonction u dans L² telles que grad (u) est dans L²

Donc on a

ok merci beaucoup ca éclairci tout

moi je note tel que : /

c'est pour cela que je me pommé je croyais que ca voulais dire ou/et.... bref


Merci beaucoup xav pour tous je crois que j'ai saisis à present pas mal de choses!
(maintenant je vais me pencher sur ces integrale de lebesgue et riemann car c'est vrai que pour moi il n'y a qu'une sorte d'integrale...)

A bientot et encore merci