TS : Dérivabilité et Continuité

[invitef4688192]

Bonjour !

J'ai un DM à faire et quelques questions me posent problème
Voilà l'énoncé d'un des exos
On considère l'équation 1 + 3x-x³ = 0 notée (E)
1°) Montre que cette équation a exactement trois solutions, dont on déterminera une valeur approchée à 10^-3 près.
2°) En posant x= 2sinu montrer que la résolution de l'équation (E) se ramène à la résolution de l'équation 1+2sin3u = 0 notée (E')
3°) Déterminer les valeurs exactes des solutions de (E') et en déduire les solutions exactes des solutions (E).

Pour la 1°) Faut-il utiliser la méthode de Bombelli ou y existe-il un moyen plus simple pour résoudre les équations du 3ème degré? car je n'ai pas encore vu cette méthode en cours...
la 2°) ne me pose aucun problème
Mais pour la 3°) je ne sais pas trop par où commencer...

Merci d'avance
-----

[Arkangelsk]

Bonjour,

la méthode de Bombelli

Ah, je ne connaissais pas ! On en apprend décidément tous les jours ...

Est-ce que tu as pensé à étudier les variations de la fonction telle que sur ?

[invitef4688192]

Bonjour,



Ah, je ne connaissais pas ! On en apprend décidément tous les jours ...

Est-ce que tu as pensé à étudier les variations de la fonction telle que sur ?

Non mais je ne vois pas vraiment en quoi la dérivée pourrait m'aider à résoudre l'équation...

[Arkangelsk]

Je ne parle pas de dérivée "à proprement parler" mais de variations. Après les avoir étudiées, il suffit d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Et on ne te demande pas de

résoudre l'équation

Mais de

Montrer que cette équation a exactement trois solutions

Ce n'est pas la même chose !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4688192]

je pense avoir compris finalement..

je trouve f'(x) = -3x² + 3
Et Δ =36
Je cherche les racines... et j'ai la réponse.. non?? ^^

[invitef4688192]

Je ne parle pas de dérivée "à proprement parler" mais de variations. Après les avoir étudiées, il suffit d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

merci je vais donc essayer

[invite5150dbce]

1+3x-x³=0
<==>x³-3x-1=0
Posons x=a+b
(a+b)³-3ab(a+b)-(a³+b³)=0
Résous le système suivant :
-3=-3ab
a³+b³=1

[invitef4688192]

Merci pour les aides j'ai réussi la 1°) ^^
Mais j'ai un autre problème maintenant..

Voici la question:
En utilisant les formules d'addition, montrer que sin(3u)=3sinu - 4sin³u

Je n'y arrive vraiment pas... Par quoi commencer??

[invitecb6f7658]

???

[invitef4688192]

???

J'ai honte lool
Du coup j'ai réussi

Mais pour la question 5°) Je ne trouve que 2 solutions alors qu'il m'en faudrait 3 ...

En sachant que l'équation (E) = l'équation (E')
On cherche les solutions de (E')
1 + 2sin(3u) = 0
2sin(3u) = -1
sin(3u) = - 1/2
Donc sin (3u) = sin (- л/6)
ou sin(3u) = sin ( - 5л/6)
Donc 3u = -л/6 ou 3u = -5л/6
D'où u= -л/18 ou u= - 5л/18

Et comme x= 2sin u

On a comme solutions pour x
x= 2sin (-л/18) ou x= 2 sin (-5л/18)

Donc on a que deux solutions pour x...

[invitef4688192]

Non en fait c'est bon ^^'
Puisque la troisième solution de x n'est pas dans l'intervalle étudié
c'est donc normal de trouver que 2 solutions

Merci à ceux qui m'ont aidé