Bonjour.
J'ai lu dans wikipédia que les mathématiciens avaient réussi à démontrer la conjecture de riemann,
" les zéros non triviaux de la fonction dzéta, sont tous situés sur la droite d'abscisse x=0,5 " ,
dans le cas général des fonctions L.
J'aimerais en savoir plus...
Pourquoi arrive t'on à démontrer la conjecture dans le cas général des fonctions L, et n'arrive t'on pas à la démontrer dans le cas classiques des nombres ordinaires ?
Salut,
l'hypothèse de Riemann (RH) pour les fonctions L s'appelle l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH), et il est clair que GRH implique RH.
Il y a donc une erreur, soit dans ta lecture, soit dans l'article de wikipédia.
Cordialement.
Salut !
L'hypothèse de Riemann (enfin son analogue) est démontré pour les fonctions Zeta de Hass-Weil des variété propres (projective?) sur des corps fini (il me semble). c'était l'objet des conjectures de Weil, qui ont ont amené Grothendieck à inventer toute la géométrie algébrique moderne (et qui ont finalement été démontrer par Deligne, en utilisant les outils mis au point par Grothendieck)
Mais ces fonction sont nettement plus simple que la fonction Zeta de Riemann : ce sont juste des fraction rationelle en q^(-s) (q le cardinal du corps de base). et en réalité pour prouver les concjectures de Weil il "suffisait" (enfin, il a quand même fallut quelques décénies à plusieurs des meilleurs mathématiciens au monde pour y arriver ) d'inventer une "bonne" théorie cohomologique pour les variété algébrique (c'est la fameuse cohomologie étale)
Cela dit, la demarche d'essayer de généraliser la preuve de Deligne à l'anneau Z est une des idée de base de la démarche d'Alain Connes pour essayer de prouver l'hypothèse de Riemann (la vrai ^^ ) : on essai d'une part de construire une bonne notion de "variété projective sur le corps F_1" pour lesquelles la preuve de Deligne s'appliquerait, et d'autres part de construire une "courbes projective sur F_1" qui sont une sorte de compactification de Spec Z, et dont la fonction Zeta soit la fonction Zeta de Riemann complétée (avec les facteur de l'équation fonctionnelle et peut-etre quelques autres bricole sans importance en plus...)
Merci Ksilver pour ta réponse éblouissante !
Est-ce que la réalisation du programme de Langlands permettra de démontrer la conjecture de Riemann ?
Est-ce que la réalisation du programme de Langlands permettra de démontrer la conjecture de Riemann ? >>>
à priori non. mais qui sait... peut-etre que le jours ou l'on prouvera l'hypothèse de Riemann généralisé la preuve utilisera la correspondance de langlands :
La correspondance de Langlands est essentiellement un résultat qui dit que les fonctions L venant de d'objet très différent à la base sont en réalité les mêmes. cela permet entre autre de tranposé les propriété qu'on sais prouver sur certaine fonctions L à d'autre type de fonction L, typiquement, on sais prouver l'equations fonctionelle assez facilement pour toutes les fonctions L qui viennent de représentation automorphe, la correspondance de langlands nous permet* de transposer ce résultat et de prouver l'équation fonctionel des fonction L venant de représentation Galoisienne (ce qui inclu toutes les fonctions attaché à des corps de nombres par exemples )
Mais pour l'instant, ca n'aide en rien pour l'hypothèse de Riemann car on ne sait la prouver pour aucune des fonctions L globale concerné (le seul cas qu'on sait prouver ce sont les fonctions de Hasse-Weil qui sont des fonctions L local... donc ca ne permetra pas de remonter jusqu'au "vrai" fonctions L). Mais cela, dit peut-etre que la preuve de l'hypothèse de Riemann généralisé viendra du monde des représentations Automorphe (qui sont beaucoup plus simple à étudier d'un point de vue analytique que celle venant du monde Galoisiens) et donc qu'on n'aura bessoin de la correspondance de Langlands pour prouver la version "classique" de l'hypothèse de Riemann généralisée. pour l'hypothèse de riemann "de base" (sur la fonction Zeta) en revanche je suis à peu près sur qu'on en sait à l'heur actuelle largement assez sur la correspondance de langlands pour que les avancées en cours du programe n'apporte rien de nouveau à ce sujet.
permet* : je ne l'ai pas mis au conditionel volontairement : en effet grâce au théorème d'induction de Brauer on peut ce contenter de la correspondance de langlands "en dimension 1" qui est connu depuis les années 50 (la théorie du corps de classe)
Ksilver, tes explications sont super ! Malgré que je n'ai pas du tout le niveau mathématiques, j'arrive à comprendre la substantifique moëlle de ton discours !
Tu devrais proposer un dossier mathématique au modérateur de Futura-Sciences, car les dossiers existants sont un peu maigres.
Revenons à la conjoncture de Riemann.
Admettons qu'elle soit démontrée. Des mathématiciens en ont déjà déduits des conséquences, entre autre sur la répartition des nombres premiers.
Mais, à mon humble avis, JAMAIS, on ne pourra trouver de formule donnant la suite précise des nombres premiers, puisqu'ils sont répartis au HASARD parmi les nombres entiers !
Ce qui me persuade de cette chose, c'est le fait que les zéros de la fonction dzéta de Riemann sont sur la droite x=0,5.
Or dans la vie de tout les jours, on dit qu'un événement guidé par le hasard a une chance sur deux de se réaliser ( 1/2 = 0,5 )...
(désolé pour mes arguments mathématiques qui sont au ras des paquerettes).
quand on parle de distribution des nombres premiers, il ne s'agit pas d'une formule qui les énumère dans l'ordre, mais plutôt de formules asymptotiques (i.e. utilisables pour des grands nombres) qui approchent le nombre de nombre premiers entre 0 et N par exemple.Envoyé par Gabriel
ça c'est un raisonnement un peu sauvageCe qui me persuade de cette chose, c'est le fait que les zéros de la fonction dzéta de Riemann sont sur la droite x=0,5.
Or dans la vie de tout les jours, on dit qu'un événement guidé par le hasard a une chance sur deux de se réaliser ( 1/2 = 0,5 )...
Il en existe déjà, pas très utiles d'un point de vue pratique car très longues à calculer (formule de Minác et Willans par exemple) : http://www.cnrs.fr/Cnrspresse/math2000/pdf/Maths10.pdf
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, il y a bien des formules de ce genre, et il y en a même plusieurs je crois (dont une a même été prouvé par un prof de math espagnol il me semble). Si je me souviens bien, la démonstration repose sur le crible d'Eratosthène.
Par contre, comme la dit Médiat, ces fonctions sont inutilisables en pratique (vous pouvez faire le test vous même si vous avez quelque base en programmation ; je sais même pas si un ordi de bureau peut calculer p5 ^^).
Et il y a en plus, les divers formules qui donnent tous les nombres premiers mais en en répétant certains et/ou dans le désordre.
Gabriel : bien sûr, on espère pas donner une formule efficace qui donne le n-iemme nombres premier, ce qu'on essai, c'est d'avoir des formules aproximatives les plus précises possible qui décrive les nombres premiers...
par exemple on sais depuis le 19e siecle que Pi(n) = {nb de nombre premier inférieur à n} ~ n/log(n)
( f ~ g signifie que f(n)/g(n) ->1 quand n-> l'infini)
en améliorant un tout petit peu ce résultat on arrive à prouver que Pi(n) =Li(n) +O(n.exp(-C*sqrt(ln(n))) ou Li désigne une fonction spéciale assez bien connu défini par Li(x) = intégrale de 2 à x de 1/ln(t) dt.
(et O(f) signifie "quelque chose < à une constante fois f")
Ce résulat signifie concrètement que Pi(n)~Li(n) est une approximation plus précise que Pi(n) ~n/ln(n), ce qui ce vérifie très bien numériquement.
la place de l'hypothèse de Riemann dans tous cela ?
et on sais depuis Riemann lui même (c'est exactement pour cela qu'il a posé cette hypothèse) que l'hypothèse de riemann implique que Pi(n) = Li(n) +O(sqrt(n).ln(n) )
bref la même chose mais avec un terme d'erreur très très largement meilleur. en fait, on sais même que cette aproximation est équivalente à l'hypothèse de Riemann. (donc, montrer l'hypothèse de Riemann ne nous apportera rien de plus sur la répartition des nombres premiers que ca...)
à quoi ca sert me dira tu ? en fait... à pas mal de choses malheuresement je suis pas vraiment compétent là dessus, mais par exemple, il y a des conjectures classique sur les nombres premiers, comme la conjectures de Goldbach, où encore la conjectures des nombres premier jumeau (ou encore la "super-conjecture" dite de Bateman-Horn : http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Bateman-Horn, qui généralise très largement les nombres premiers jumeaux...) qui ont toutes des "arguments Heuristiques/probabiliste" qui les justifie, en supposant ques les nombres premier ce comporte un peu comme une suite aléatoire d'entier vérifiant certaines règles inspiré du crible d'Eratosthène. bien sûr ces arguments ne sont pas rigoureux : mais une meilleur connaissance de la répartition des nombres premier, pouraient montrer qu'en effet ils ce comportent bien comme une suite aléatoire et donc que ces argument Heuristiques peuvent être rendu rigoureux... bien entendu, l'hypothèse de Riemann, ne serait pas du tous suffisante pour impliquer les nombres premier jumeaux... ceci dit, pour Goldbach, elle aide beaucoup : si mes souvenir sont bon, on sait prouverune forme faible de Goldbach "pour n assez grand", mais le assez grand est tellement enorme qu'il est completement inimaginable de vérifier à la main les "petites valeurs de n", en revanche en supposant vrai l'hypothèse de riemann, ce "assez grand" devient beaucoup plus raisonable, et si on prenait la peine de faire tourner un super calculateur pendant quelques mois (j'ignore si on la fait) on pourrait effectivement vérifier pour toutes les petites valeurs de n.
J'avais déjà lu les formules d'approximations que tu rapelles :
Pi(n) ~ n/log(n)
Pi(n) =Li(n) +O(n.exp(-C*sqrt(ln(n)))
Pi(n) = Li(n) +O(sqrt(n).ln(n) )
Dans ces 3 formules, l'incertitude sur le nombre de nombres premiers inférieurs à n, ne devient t'elle pas de plus en plus grande, à mesure que n devient grand et tend vers l'infini ?
Je pose cette question car j'avais vu dans une revue de vulgarisation scientifique, "La Recherche", un schéma on l'on voyait que la courbe n/log(n) et la courbe Pi(n) = Li(n) +O(sqrt(n).ln(n) ) oscillaient autour de la courbe Pi(n) calculée exactement jusqu'à une valeur de n = 1 milliard, avec des oscillations (donc une marge d'erreur) de plus en plus grandes ...
je comprend pas trop ta dernière question :
ce que dit la dernier formule, c'est que il existe une constante C (en travaillant un peu plus, on peut donner une valeur précise à cette constante, mais on ne connait pas la "constante optimal" ) tel que :
Li(n) - Csqrt(n).ln(n) < Pi(n) < Li(n) + Csqrt(n).ln(n)
donc "l'incertitude", c'est 2Csqrt(n).ln(n) qui en effet "est de plus en plus grand" quand n->l'infini, mais reste largement plus petit que Pi(n) lui même (l'incertitude relative tant vers 0).
tu as des tables de valeur sur Wikipédia :http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...mbres_premiers
pour un peu mieux "voir" que ces aproximations sont pas si mauvaise (et que celle avec Li est très très largement meilleur que n/ln(n) ... )
Merci à tous les intervenants et particulièrement à Ksilver pour sa patience.
J'y vois un peu plus clair !
Voici comment je vois la situation :
Depuis que Riemann a émis sa conjecture, 150 ans se sont écoulés, les plus grands mathématiciens ont fait progressé la résolution et ses conséquences.
Conséquences qui semblent petites : une légère amélioration de la distribution des nombres premiers par rapport à la formule Li (x).
Pour reprendre la phrase de Ksilver : "Tout ça pour ça ! ".
Pourquoi alignés sur 0,5 et non pas 0,4 ou 0,6 ?
Je soupçonne que l'acharnement des mathématiciens est lié à la distribution au hasard des nombres premiers.
Y a t'il d'autres branches des mathématiques où intervient le hasard ?
La géométrie (mouvement brownien) ?
On ne peut pas parler de hasard pour les nombres premiers puisqu'il existe des algorithmes de répartition comme la crible d'eratostène
Ne sous-estime quand même pas l'importance de l'hypothèse de Riemann "ce petit gain" (pas si petit que ca quand même) permet de faire enormement de choses, notement pour tous l'aspect algorithmique extremement importante en théorie des nombres (toutes la crypto etc...)
pourquoi 0,5 ? grâce à l'équation fonctionelle de la fonction Zeta on sait que les zéros non triviaux sont symétrique par rapport à la droite Re(s)=1/2, donc si on veut qu'il soit tous sur même droite vertical ca peut-etre que celle là.
de plus les formules explicites trouvé par Riemann dans son mémoire, donne quelque choses du genre :
Pi(n) = Li(n) + des trucs bronés pas très interessant+ somme sur tous les zéros non trivial de la fonction Zeta de c_p . n^p
où c_p est un coeficient dont je me rappelle plus et donc que j'ai appellé c_p.
bref, les termes d'erreur "important" quand on approxime Pi(n) par Li(n) sont en n^p,
si p=a+ib, ca donne n^p=n^a * exp(log(n)ib)
donc le a apparait comme quelque chose qui donne "l'amplitude" du terme d'erreur (le module de n^p est n^a) et le b comme une sorte de "pulsation" du terme d'erreur.
si on veut que le terme d'erreur soit le plus petit possible, il faut que a soit le plus petit possible... mais comme les zéros sont situé symétriquement de par et d'autres de la droites Re(s)=1/2, la meilleur hypothèse qu'on puisse faire, c'est celle de Riemann (et c'est pour cela... et aussi parcequ'il avait fait beaucoup de calcul à la main pour vérifier, que Riemann a posé son hypothèse).
il faut aussi voir que l'hypothèse de Riemann est relié à d'autres choses extrement profondes (Polya-Hilbert etc...) et on espère vraiment, que le jour ou on saura la démontrer, la preuve nous apportera une meilleur comphrension de ce qu'est vraiment la fonction Zeta et pourquoi elle est aussi importante (et ca pour le coup, c'est très très liée au programe de Langlands...)
Lien très intéressant
"hhh86" a t'il raison ? Les nombres premiers ne sont pas répartis au hasard du fait qu'on peut les déterminer !
Toutes les formules donnant un grand nombre de Nombres Premiers me semblent équivalentes au crible d'ératosthène.
Effectivement, la formule de Riemann améliore d'une façon fondamentale le calcul des variations des Nombres Premiers :
d(x) = Pi(x) - x/logx diverge vers le haut avec des fluctuations de plus en plus grandes
Deux petites choses :
1. Sur le "hasard" ou le "non-hasard" dans la répartition des nombres premiers, la preuve du théorème de Green-Tao consiste (dans un certain sens) à extraire de la suite des nombres premiers la partie aléatoire et la partie ordonnée. C'est comme ça que Terry Tao l'explique. L'énoncé du théorème en lui-même parle de "la partie ordonnée" des nombres premiers : il existe des suites de nombres premiers en progression arithmétique de taille arbitrairement grande.
2. Sur le fait de trouver une formule donnant le n-ième nombre premier, c'est sûr que c'est peu probable (déjà il faut voir ce qu'on entend par formule mais disons un algorithme). Cela dit, certains ont bon espoir de trouver un algo qui fournisse des nombres premiers arbitrairement grands. Ça fait l'objet par exemple d'un projet Polymath (dirigé par... Terry Tao, encore lui !).
Il existe déjà des algorithme qui donne le n-ieme nombre premier (clible d'Eratosthène par exemple) et même des formules close qui donne le n-iemme nombre premier en fonction de n (cf le lien donné plus haut par Médiat)
la difficulté est de trouve des algo efficaces...
Quelques questions subsidiaires :
a) Est-ce que les zéros triviaux de la fonction dzéta de riemann (-2,-4,-6, ... entiers négatifs pairs) apportent un éclairage sur l'hypothèse que les zéros non triviaux sont tous situés sur la droite x=0,5 ?
b) Je trouve stupéfiant que Littlewood aît démontré que la fonction d(x) = Pi(x) - Li (x) s'annule une infinité de fois ! (nombres de Skewes)
Celà suppose qu'il existe d'énormes concentrations de Nombres Premiers, quelque part, très loin ... ?
c) J'ai lu que les grandes concentrations de zéros non triviaux, correspondent à des zones de faible densité de Nombres Premiers, et inversement.
D'autre part on a déterminé la valeur exacte de 15 milliards de zéros de dzéta.
Est-ce que la connaissance de ces zéros permet de déterminer le plus petit nombre de Skewes ?
a) non pas du tous : comme leur nom l'indique les zéros triviaux sont vraiment triviaux ^^ ils disparaissent quand on considère la "bonne" fonction Zeta : celle avec les facteurs Gamma en plus, qu'on apelle Lambda, et qui apparait dans l'equation fonctionelle. les zéros de cette fonction sont uniquement les zéros non triviaux.
b) disont que ca signifie qu'il y a des endroit ou il y a légèrement plus de nombres premiers et d'autre ou il y en a légèrement moins...
c) "J'ai lu que les grandes concentrations de zéros non triviaux, correspondent à des zones de faible densité de Nombres Premiers, et inversement." >>> c'est possible, mais je vois pas trop pourquoi.
"Est-ce que la connaissance de ces zéros permet de déterminer le plus petit nombre de Skewes ? " en théorie oui, les nombres de Skewes sont entièrement déterminer par les zéros de la focntion Zeta (dans le sens ou la fonction Pi(exp(x)) - Li(exp(x)) s'ecrit comme une sorte de transformé de fourier dont les pulsations succesivent sont les partie imaginaires des zéros de la fonction Zeta...) ... en pratique j'en sais rien, mais ca m'étonerait quand même qu'un calcule faisant intervenir les zéros de la fonctions Zeta puissent être plus efficace que le calcule directe de Pi(n) et Li(n)...
ouicar si les nombres premiers étaient répartis au hasard, c'est par conséquent l'ensemble des entiers naturels qui est réparti au hasard puisque les autres ne sont que leurs produits.....On pourrait supposer que 7 est avant 5...etc...donc l'ensemble des entiers naturels n, ne serait pas une suite en progression arithmétique de raison 1 ayant comme premier terme 1, imagine alors le foutoir, et tous les théorèmes qui en découlent, ainsi que que le crilble d'Eratosthène.
ne pas confondre réparti au hasard et trouver leur emplacement quelque soit n, lorsque n tend vers l'infini...
tout dépend uniquement du temps et de l'informatique, pour les énumérer tous, dans l'ordre de progression...et ce quelque soit n.
comment tu pourrais programmer le crible d'Eratosthène uniquement dans les entiers, congru P modulo 30 et où: P désigne un Premier compris de 7 à 31, si, ils étaient répartis au hasard...?
dans le crible traditionnel, lorsque tu arrives à 7, tu barres tous les 7 nombres, puis tous les 11 nombres...etc
Merci "Leg". Je me souviens très bien du crible d'ératosthène au lycée.
Avez-vous d'autres idées à propos de cette fonction dzéta de riemann ?
non, je pense que Ksilver t'as bien répondu, au sujet de leur répartition.
Car même si cette conjecture était fausse, cela n'infirmerait en aucune manière le fait de trouver des concentrations de premiers en fonction de n, ils augmentent puis diminuent etc ...etc; du fait, que leur répartition est oscillatoire par rapport à zéro, lorsque n tend vers l'infini.
c'est tout simplement une question de technologie, pour trouver de grand nombre premier, ou leur position...
je pense qu'il faut une mémoire illimité, avec une réponse dans un minimum de tempset même si on parvenait à faire un ordinateur quantique.....
on ne ferra que repousser un peu plus loin, les limites que l'on veut atteindre...
Sauf si effectivement quelque-part, il existe un algorithme qui dans un minimum de temps permet un calcule illimité....Mais la question qui se pose alors comment écrire un tel nombre, qui dispose de mds de mds ...de ....de chiffres, d'une longueur...
Bonjour,
Pour étudier la répartition des nombres premier j'ai fait de la musique avec les écards entre les nombres premier divisé par 2 car il sont toujours pair
et ensuite j'ai fait la même chose avec les décimales de pi pour voir la différence.
Il y en a une au niveau musical mais pensez vous que "les écards entre les nombres premier divisés par 2" soit des nombres aléatoires ?
et la même question se pose pour les décimales de pi
