Petite équation différentielle.

[invitea250c65c]

Bonjour,

Pourriez-vous me donner un petit coup de pouce pour cet exercice :

Soit et l'ensemble des fonctions dérivables de dans vérifiant : .
Je cherche à montrer que toute fonction de est développable en série entière et à déterminer ce développement.

Voici mon raisonnement (partiel) :
Alors j'ai montré que était un -ev, que l'ensemble des éléments de développables en série entière était une droites vectorielle, je cherche donc à montrer maintenant que est une droite vectorielle.
La partie facile est faite, il me faut maintenant montrer que la seule fonction f de vérifiant f(0)=0 est la fonction nulle.
Et là, petit bloquage.
J'ai, pour tout entier n, , mais je n'arrive pas à conclure f=0.
Il ne doit pas me manquer grand chose à mon avis.

J'avais aussi pensé à ramnener ça à un problème de Cauchy pour utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz, mais je n'y suis pas parvenu.

Une petite indication ?

Merci d'avance.
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[invitea250c65c]

J'ai, pour tout entier n, , mais je n'arrive pas à conclure f=0.

Petite maladresse : je veux dire que ce n'est pas suffisant pour avoir f=0.

[invite9617f995]

Bonjour,

Je ne suis pas sur de ce que j'avance, mais je tente quand même, dites moi si c'est faux.

On note (E) notre équa diff.
Soit g la solution de (E) vérifiant g(0)=0 et soit h=2g. Par linéarité on a h solution de (E). Or h(0)=2g(0)=0 donc h et g sont toutes les deux solutions de (E) et vérifient la même condition de Cauchy (0,0) donc par le théorème de Cauchy, on a g=h d'où g=2g donc g=0. CQFD

J'ai tort ?

[invitea250c65c]

Bonjour,

Je ne suis pas sur de ce que j'avance, mais je tente quand même, dites moi si c'est faux.

On note (E) notre équa diff.
Soit g la solution de (E) vérifiant g(0)=0 et soit h=2g. Par linéarité on a h solution de (E). Or h(0)=2g(0)=0 donc h et g sont toutes les deux solutions de (E) et vérifient la même condition de Cauchy (0,0) donc par le théorème de Cauchy, on a g=h d'où g=2g donc g=0. CQFD

J'ai tort ?

Merci pour ta réponse.
Cependant, je pense qu'il y a une erreur dans le raisonnement : en effet, "(E) et f(0)=0" n'est pas un problème de Cauchy (sinon on aurait pu dire que f et 0 sont solutions du problème de Cauchy ce qui résout tout de suite le problème).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Hhm, effectivement l'équation différentielle n'est pas de la forme f'(t)=a(t,f(t)) où a est une fonction de R² dans R donc je pense qu'en effet on ne peut pas appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz, désolé.

[invitea250c65c]

Personne n'a d'idée ?
J'ai recherché un peu mais je n'ai rien trouvé, pourtant je suis sur que ce n'est pas grand chose.

[inviteaf1870ed]

Je me lance : je considère la fonction u(x)=f²(x).
u(x) est positive ou nulle, et u(0)=0, donc u'(0)=u(a.0)=0.

Si u est non nulle pour x<0, il existe un voisinage de 0 où u' est négative. Or f et f' sont de même signe, donc u'=2ff' est toujours positive. Donc u est nulle pour x<0.

Pour x>0, je en suis pas très sur, mais on doit pouvoir conclure

[invitea250c65c]

Merci pour votre réponse,

Je ne suis pas sur d'avoir tout compris, excusez-moi si je me trompe, mais :

u(x) est positive ou nulle, et u(0)=0, donc u'(0) =u(a.0) =0.

Je pense que vous avez fait une petite erreur (confondu f et u) mais la conclusion reste bonne.

Si u est non nulle pour x<0, il existe un voisinage de 0 où u' est négative. Or f et f' sont de même signe, donc u'=2ff' est toujours positive. Donc u est nulle pour x<0.

Comment at-ton que f et f' sont de même signe? Le a est tout de même embêtant (à moins que je passe à côté d'un truc évident, ce qui est fort possible ).

Merci d'avance.

[inviteaf1870ed]

a est positif et <1, donc ax est dans le même voisinage de zéro que x, et f'=f(ax) indique qu'ils sont de même signe, non ?

[invite7553e94d]

il me faut maintenant montrer que la seule fonction f de vérifiant f(0)=0 est la fonction nulle

Bonjour, petite réaction sur ce point en passant :





Ainsi, la fonction nulle est l'unique fonction de qui satisfait si et seulement si toutes les fonctions de sont développables en séries entières.

Est-ce que cela aide ?

[invitea250c65c]

Ainsi, la fonction nulle est l'unique fonction de qui satisfait si et seulement si toutes les fonctions de sont développables en séries entières.

En effet, j'étais arrivé au même résultat par un raisonnement un peu différent. C'est pour ça que je cherche maintenant à démontrer que la seule fontion de vérifiant est la fonction nulle (le but étant de démontrer que toute fonction de est développable en série entière).

a est positif et <1, donc ax est dans le même voisinage de zéro que x, et f'=f(ax) indique qu'ils sont de même signe, non ?

Désolé, je ne suis toujours pas convaincu .
J'essaye de reprendre le raisonnement proprement et je vous dis où je bloque :

Soit vérifiant .
Montrons que .
Posons .
est (même ) et .
On a clairement et .
Ainsi, étant : (se voit par l'absurde, en niant la définition d'une fonction décroissante ...).
Donc .

Et là, c'est peut être très bête, mais je n'arrive pas à montrer que est nulle sur .
C'est clair qu'intuitivement au début c'est ce que je voulais dire, cependant, je m'imagine une fonction qui oscille de plus en plus vite au voisinage de 0 (type ) ... et plus ça va et moins ça me parait évident.

Il ne doit pas me manquer grand chose, mais ça me turlupine .

[invitea250c65c]

Donc .

C'est , désolé erreur de latexage.

En effet c'était évident j'ai trouvé (et mon contre exemple n'a pas lieu d'être ici étant donné que la fonction est continue en 0...).

J'obtiens donc que f est nulle sur un voisinage de 0, j'en déduis facilement qu'elle est nulle sur .

Il me faut maintenant conclure sur , je pense que je vais y arriver.

Merci pour le coup de main et désolé de ne pas avoir été très vif hier .