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resolution d'equation (simple mais je n'y arrive pas)



  1. #1
    ornicar

    resolution d'equation (simple mais je n'y arrive pas)


    ------

    bonjour à tous,

    voila je m'arrache les cheveux sur un exo super simple c'est assez frustrant de savoir que la réponse va etre simple :

    Je dois trouver A et phi dans l'equation z(t) sachant que z(0)=L et z'(0) = 0
    z(t)=A cos(wt+phi)

    les réponses sont A = L et phi=0 mais je n'arrive pas a voir le déroulement des etapes pour y parvenir

    A l'aide !

    -----

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  3. #2
    silk78

    Re : resolution d'equation (simple mais je n'y arrive pas)

    Déjà on calcule z'(t)=-wAsin(wt+phi)

    Puis nos deux conditions initiales nous donne simplement deux équations :
    (1) z(0)= Acos(phi) = L
    (2) z'(0)= -wAsin(phi) = 0

    De (1), on tire que A est non nul, donc (2) devient sin(phi)=0 d'où phi=0+2k*pi avec k entier relatif. On peut choisir n'importe quelle valeur de k, donc pour se simplifier on prend k=0, d'où phi=0.

    Du coup (1) devient Acos(0)=A=L.

    On a donc bien A=L et phi=0.
    CQFD

    Silk

  4. #3
    ornicar

    Re : resolution d'equation (simple mais je n'y arrive pas)

    merci !
    mais le truc qui me bloque c'est que de sin(phi)=0 on tire phi=k*pi et non 2k*pi, non ?!?

  5. #4
    silk78

    Re : resolution d'equation (simple mais je n'y arrive pas)

    Pour être parfaitement rigoureux, il faut aussi voir que (1) implique que A et cos(phi) sont du même signe. Ensuite il faut se rendre compte que quelque que soit le signe de A, il suffirait de rajouter pi à la phase phi pour retrouver l'autre signe, donc on peut fixer le signe de A comme on veut, sachant que quelque soit notre choix, ça va juste changer la phase de pi. On choisit A positif, du coup on a cos(phi) positif, et si on y ajoute sin(phi)=0, là on a nécessairement phi=2k*pi.

    Si on avait fixé A négatif, on aurait A=-L, phi=pi+2k*pi. Et comme expliqué plus haut, on pourrait changer ça en une solution de la même forme avec A=L et phi=2k*pi.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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