principe d'identité des fonctions holomorphes

[Bartolomeo]

Bonjour,

je cherche un exemple de 2 fonctions qui répondent au principe d'identité des fonctions holomorphes.

Cordialement.
Bart
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[invite4ef352d8]

Salut !


euh... ta question ne veut rien dire :S

toutes les fonctions holormophe vérifie le principe d'identité :S

ou alors peut-etre que tu veux deux fonctions non holomorphe qui justement ne le vérifie pas ?

[Bartolomeo]

Salut Ksilver! Merci pour ton aide!
Je vais essayer d´être un peu plus précis:
je cherche un domaine D et 2 fonctions holomorphes f et g tel que .
L´ensemble doit avoir un point d´accumulation et f, g ne doivent pas être entièrement équivalente sur D.

[Bartolomeo]

J´ai trouvé une réponse à cette question. Mais celle-ci ne me satisfait pas:

La fonction est holomorphe sur , les termes de la suite sont dans et celle ci konverge vers (donc 0 est un point d´accumulation), , mais .

Donc correspond sur l´ensemble des (avec le point d´accumulation 0) avec la fonction nulle, néanmoins pas sur tout .

Je ne suis pas satisfait, parce que g et f sont sensé être équivalente sur l´ensemble des avec le point d´accumulation 0. On définie (le dans mon dernier message est une erreur), or pour la fonction le domaine de définition est , donc on doit poser . Et dans ce cas le point d´accumulation n´appartient pas à et on ne peut même pas dire que f et g soient équivalent pour un seul !

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Bonjour,

Au mieux tu peux considérer

qui se prolonge par en elle sera continue sur et holomorphe sur et elle coïncidera aussi au niveau du point d'accumulation. Bien sûr tu ne peux pas aussi demander quelle soit holomorphe au point d'accumulation sinon tu es dans les hypothèses du théorème et tu ne peux pas montrer qu'un théorème qui est vrai est faux

[invite4ef352d8]

KerLanais :

ton exemple ne marche pas : si z.sin(1/z) etait continu en 0, le th de la singularité effacable nous dirait qu'elle est holomorphe en 0 et ca serait problematique... (en vrai z.sin(1/z) n'est pas borné au voisinage de 0 : regarde ce qu'il ce passe sur l'axe imaginaire)


Bartolomeo : ce que tu cherche n'existe pas : c'est exactement ce que dit le théorème des zéros isolé ( principe d'identité des fonctions holomorphes )

pour avoir un "contre exemple" de ce type, il faut soit prendre des fonctions non holomorphes, soit autorisé que le point d'accumulation ne soit pas dans le domaine...

[Bartolomeo]

Merci pour ton intéret KerLannais et encore merci Ksilver!

Quelle chose dois-je considérer d´abord pour vérifier le théorème de l´identité: si les 2 fonctions ont le même domaine de définition? Ou si le point d´accumulation de la suite est bien à l´intérieur du domaine de définition?

[invite4ef352d8]

Le fait que les deux fonctions sont défini sur le même est plus secondaire : si les domaines sont différent il suffit de considérer l'intersection de leur deux domaine de definition... (qui est alors souvent un domaine... au pire une réunion de domaine si il y a plusieurs composante...)

les choses importante c'est que : 1) les deux fonctions sont définies sur un ouvert conexe (enfin, eventuellement sur qqch de plus grand, mais en restreignant...), 2) le point d'accumulation appartiens bien a cette ouvert connexe.


(bon et aussi que les deux fonctions soit bien holomorphes hein ^^ )

[KerLannais]

Oui exact j'ai parlé trop vite