Caractérisation des sous-groupes de GL(3,IR)

[Seirios]

Bonjour à tous,

Tout est dans le titre : j'aimerais savoir s'il existe une caractérisation des sous-groupes de GL(3,IR).

Quelqu'un aurait-il des informations sur le sujet ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite4ef352d8]

Salut !

petit détail de vocabulaire : à mon avis, ce que tu cherche ce n'est pas une caractérisation, c'est une classification. une caractérisation ca serait "ce sont les sous ensembles non vide de GL3(R) stable par multiplication interne et par passage à l'inverse" ce qui est pas très interessant.

ou alors, ce que tu cherche c'est peut-etre "Soit G un groupe, comment savoir si il ce plonger dans GL3(R)" ?


pour la classification : et bien, ca contiens déjà tous les sous groupes de R*... et ca on peut pas les classifier (la jungle des sous groupes exotiques...) donc c'est mal partie.


en revanche, si tu rajoute des hypothèse comme "sous groupes fini" alors la oui on sait les classifier (il y a Z/nZ pour tous n, Dn pour tout n, le groupe du cube, le groupe du tétrahèdre et le groupe de l'icosahèdre)


si tu t'interesse aux sous groupe fermé... la je sais pas trop mais c'est pas impossible qu'on sache le faire.

[Seirios]

En fait, j'ai défini une transformation , avec , et un paramètre (c'est une formule générale de changement de référentiels), et je cherche à montrer que pour tout a, H(a) est une matrice orthogonale.

Je peux définir une structure de groupe sur les H(a) avec la multiplication entre matrices, donc l'idéal aurait été d'en déduire que ce groupe ne pouvait répondre qu'aux critères du sous-groupe des matrices orthogonales dans la classification des sous-groupes de GL(3,IR).

Sinon, je viens de lire que le sous-groupe topologique compact maximal de GL(n,IR) était O(n) ; est-ce que cela peut m'être utile pour montrer que mon groupe est inclu dans O(n) ? (Sous quelles conditions ?)

[invite4ef352d8]

euh j'oubliais dans ma classification par "groupe du ...." j'entend "groupe des isométries non neccessairement direct du polyhèdre régulier"

et il faut rajouter à cette classification certain sous groupes des groupes indiqué (par exemple, les groupes d'isométrie direct des polyhèdres...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

J'imagine que H et K sont continu et que a -> "la transformation de paramétre a" est sensé être un morphisme ?

ba même comme ca ce n'est pas suffisant pour avoir H orthogonal : par exemple on peut prendre K=0, et H(a).x=ax (si N=1)



pour ce qui est du fait que O(n) est un sous groupe compact maximal... oui il y a moyen de t'en servir :

par exemple si tu peux montrer que H ce factorise à travers un tore (ie qu'ils sont périodiques en a selon N périodes R indépendante) alors tu saura que l'image de H est compact, et donc que (comme c'est un groupe si H est un morphisme) elle est incluse A CONJUGAISON PRES dans O(n).