Valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme

[invitea1859ec6]

Bonsoir,

Voici l'énoncé :

Soit et un élément de tel que
. Pour tout , on pose


Après avoir montré qu'il s'agit d'un endomorphisme de E (question assez aisée), on nous demande de déterminer les valeurs propres de u et leurs vecteurs propres associés.

J'ai commencé par essayer de déterminer Ker(u) qui, j'imagine (j'espère...), a une dimension importante, ce qui nous permettra de déterminer plus facilement la dernière valeur propre.
Mais bref, j'ai donc choisi Q de E tel que u(Q)=0, et en posant Q comme la somme des . (avec k variant entre 0 et n), je n'aboutis à rien d'exploitable.

Si une âme charitable pouvait me mettre sur la bonne voie, merci d'avance.
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[MMu]

Deux cas :
1) et donc

2) donc est de la forme
On a alors donc

[invite6f25a1fe]

La valeur propre est évidente.
Tu prends P=A, tu obtiens bien U(P=A)=0. On se rend compte très vite que tous les polynomes P=kA fonctionnnent (car on fait la différence de deux termes identiques)

[invitea1859ec6]

Merci pour vos réponses, j'ai toujours du mal à me rentrer dans le crâne que l'expression d'une intégrale peut être une solution définitive au problème.

Merci encore, bonne journée à vous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MMu]

Juste une remarque : tenant compte de ce qui a été dit auparavant, montrer que l'endomorphisme est diagonalisable .

[invitea1859ec6]

Alors là je ne suis pas sûr de la rigueur de mes propos, mais a priori, je dirais :

Soit F l'ensemble des P de E tels que , et soit G l'ensemble supplémentaire tel que .

On a =F, car la condition trouvée des vecteurs propres associés à est celle d'appartenance à F.

De plus, =Ker(u)=G car ses vecteurs propres sont sur la droite vectorielle <A(x)>.

Puisque E est somme directe des deux uniques sous-espaces propres de u, alors u est diagonalisable.

[MMu]

Alors là je ne suis pas sûr de la rigueur de mes propos, mais a priori, je dirais :

Soit F l'ensemble des P de E tels que , et soit G l'ensemble supplémentaire tel que .

On a =F, car la condition trouvée des vecteurs propres associés à est celle d'appartenance à F.

De plus, =Ker(u)=G car ses vecteurs propres sont sur la droite vectorielle <A(x)>.

Puisque E est somme directe des deux uniques sous-espaces propres de u, alors u est diagonalisable.

Attention Ifrit22 ta démo n'est pas claire et ne marche pas : , tel que tu le définis, n'est pas un sous-espace vectoriel .