Resolution d'une EDP

[invitea206a151]

Salut à tous,
Soit à resoudre l'equation aux derivées partielles:
u_tt(t,x)-9u_xx(t,x)=0 0<x<c et t>0
u(t,0)=0; u(t,c)=3
u(0,x)=u_t(0,x)=0

Je pose u(t,x)=f(x)g(t) et en remplacant dans l'edp j'obtiends g^''(t)/g(t) =9f^''(x)/f(x) =k

ce qui donne g(t)=Acos(t)+Bsin(t); et f(x)=Ccos(x)+Dsin(x)

Avec la condition u(t,0)=0 j'obtiends C=0 mais avec la condition u(t,c)=3 je bloque.
Comment faire pour deduire l'expression de avec la condition u(t,c)=3? sachant qu'on a habituellement la condition u(t,c)=0?
Y'a t'il une autre methode pour resoudre cette Edp?

Merci d'avance
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[invitea6f35777]

Salut

Tu as des conditions aux limites incompatibles puisque tu impose à la fois

et

en particulier si tu veux imposer les conditions au limite il faut que tu suppose que ta solution est continue au bord et avec ces conditions elle est forcément discontinue au point alors forcément c'est pas génial
Par contre tu doit pouvoir avoir des solutions en un sens faible. L'autre méthode ultra classique pour la résolution de l'équation des ondes du type

est de constater que toutes les solutions sont une superposition de deux ondes de vitesse mais qui voyagent en sens opposés, autrement dit la solution est toujours de la forme

avec et des fonctions définies sur à priori quelconques, de préférence deux fois dérivables pour avoir des solutions classiques. Mais je ne sait pas si ça t'avance beaucoup

[invitea6f35777]

Sinon il y a peut être encore une autre façon de procéder. Tu considère la fonction

alors est solution de la même équation des ondes avec des conditions au bord "classiques" , c'est juste la condition initiale qui est alors et on a toujours . On peut alors approximer la condition initiale pour la faire revenir (de façon abrupt mais lisse) vers en . On a alors une solution approchée et on regarde la convergence faible de cette suite de solutions approchées.

[invitea206a151]

Merci pour cette reponse je vais essayer avec cette methode

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea206a151]

Merci pour votre aide, j'ai enfin resolu le probleme