Probabilités (~licence ?)

[invited193331a]

Bonjour à tous.

Voici l'énoncé de mon problème :

Un équipement électronique est composé de deux modules M₁ et M₂. On pose les évènements :
V₁ = "M₁ est en panne"
V₂ = "M₂ est en panne"

Il est prévu de mettre l'équipement en service à une date future, que nous noterons t = t₀. Les évènements V₁ et V₂ seront réalisés certainement, mais à des dates inconnues comprises entre 0 et +∞.

On pose les variables aléatoires :
X₁ : date de réalisation de V₁
X₂ : date réalisation de V₂

Les fonctions de répartition F₁(t) et F₂(t) donnant les probabilités de réalisation des évènements "X₁ < t" et "X₂ < t" sont supposées connues. Pour fixer les idées, disons que ce sont des lois exponentielles de paramètres λ₁ et λ₂.

On suppose que les modules M₁ et M₂ réalisent une certaine fonction matérielle qui devient définitivement défaillante si M₁ tombe en panne (même si M₂ tombe en panne plus tard), et qui devient définitivement bonne si M₂ tombe en panne (même si M₁ tombe en panne plus tard).


Voici ma question :

Quelle est la probabilité de panne de la fonction matérielle à l'instant t ?

Merci de votre aide,
Pierre
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[KerLannais]

Salut,

Tu ne précise pas les temps de fonctionnement de tes modules sont indépendants. Si tu suppose qu'ils sont indépendants et que par exemple ils suivent des loi et (qui sont alors des mesures de probabilités sur ) alors pour


est la probabilité que la fonction matérielle soit défaillante à l'instant . Pour le montrer tu considère la variable aléatoire à valeurs dans dont les composantes sont les temps de fonctionnement de tes modules dont tu connaît la loi (c'est juste la loi produit par indépendance). Il est facile de voir que ta fonction matérielle est défaillante à un instant si et seulement si

(il faut que M1 soit tombé en panne avant l'instant ce qui donne et que M2 tombe en panne après ce qui donne )
donc la probabilité que tu cherche est