Calcul d'une limite

[invite0a92927f]

Bonsoir,

je dois calculer la limite de la fonction suivante quand x tend vers 1 :


Je ne trouve pas la méthode pour y arriver,

Merci
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[invitec317278e]

salut,
(f(x)-f(1))/(x-1) tend vers ?

[Médiat]

En remarquant que :
xⁿ - 1 = (x - 1) (x^n-1 + x^n-2 + .... + x + 1)
le résultat devrait être simple (sinon il y a la méthode de L'Hôpital).

[invitefa064e43]

la réponse de Médiat me fait penser à un détail que tu as omis : quel peut être la valeur de "n" ? Un nombre entier ? Ou n'importe quel réel ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a92927f]

Il n'y a pas de précision sur n, donc je pense qu'il doit être réel. De plus, comme corrigé, je n'ai que la valeur de la limite qui est 1/n, sans aucune justification.

[invitec317278e]

sans plus de précisions, n est considéré comme entier, pas comme réel

[invite5150dbce]

salut,
(f(x)-f(1))/(x-1) tend vers ?

Plutôt [g(x)-g(1)]/(x-1) avec g : x |-->xⁿ pour éviter les confusions
misterdealer, pense au nombre dérivé d'une fonction en un point

[inviteaf1870ed]

Pour un r quelconque (i.e. pas spécialement un entier), on peut utiliser une méthode de "physicien" : poser x=1+a, et utiliser la formule du binôme généralisé (http://fr.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%...%A9ralis%C3%A9) en faisant tendre a vers zéro:

(x^r-1)/(x-1)=[(1+a)^r-1]/a

=[1+ra+r(r-1)/2 a²+....-1]/a=r+a(.....) qui tend bien vers r quand a tend vers zéro.

[invite0a92927f]

Plutôt [g(x)-g(1)]/(x-1) avec g : x |-->xⁿ pour éviter les confusions
misterdealer, pense au nombre dérivé d'une fonction en un point

Je ne suis pas censé connaître la notion de dérivée à ce stade.

Merci pour vos aides !

[inviteaf1870ed]

Je ne suis pas censé connaître la notion de dérivée à ce stade.

Merci pour vos aides !

Ah ??? Tu es en quelle classe ? C'est le forum du supérieur !

[invite0a92927f]

J'étudie un livre de niveau L1 en analyse. Les premiers chapitres parlent de limites et de continuité. Le chapitre sur les dérivés sont juste après. Je me dis peut-etre à tort que les chapitres sont cloisonnées, que l'on construit les maths au fur et à mesure et qu'on a juste besoins des notions étudiées jusqu'à présent pour résoudre un exercice.
Je me suis finalement aidée de la définition de la dérivée de x à la puissance n au point 1 et je trouve trivialement 1/n pour cette limite donnée.

Thanks.

[inviteaf1870ed]

Pour n entier, c'est la somme d'une série géométrique d'où le résultat sans dériver.
Pour r quelconque je t'ai montré la méthode pour trouver le résultat sans dériver non plus.