Calcul d'une limite

[invitecfdae1a3]

Bonjour tout le monde !
J'aimerais calculer la limite de (th x)^x quand x tend vers l'infini.
Le problème, c'est que je trouve l'infini tandis que la calculette m'indique 1.

Voilà comment j'ai procédé :
(th x)^x = exp^(x ln thx)
or quand x-> infini, th x ->1
donc ln ( th x ) ~ thx -1
Je remplace et je pose x =1 / u pour me ramener à une limite en 0.
ça me fait : exp^ ( 1/u *(th 1/u -1)

en remplaçant th 1/u par son DL à l'ordre 1 j'ai :
=exp^(1/u * (1/u - 1 +o(1/u) )
=exp^(1/u² - 1/u +o(1/u))
=exp^1/u² * exp^(-1/u)

donc la lim th x = lim exp^1/u² * exp^(-1/u) quand u->0 = infini * infini qui donne infini !

Ou est-ce que j'ai bien pu me tromper ?
merci à ceux qui me réponderont
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[invite57a1e779]

Bonjour,

tout le monde !
J'aimerais calculer la limite de (th x)^x quand x tend vers l'infini.
Le problème, c'est que je trouve l'infini tandis que la calculette m'indique 1.

Une remarque : pour x positif, on a donc et la limite ne peut pas être infinie.

Voilà comment j'ai procédé :
(th x)^x = exp^(x ln thx)
or quand x-> infini, th x ->1
donc ln ( th x ) ~ thx -1
Je remplace et je pose x =1 / u pour me ramener à une limite en 0.
ça me fait : exp^ ( 1/u *(th 1/u -1)

en remplaçant th 1/u par son DL à l'ordre 1 j'ai :
=exp^(1/u * (1/u - 1 +o(1/u) )

Exprimer sous forme exponentielle est une très bonne idée, changer de variable pour se ramener à de limite nulle aussi, mais alors tu dois faire des développements limités suivante les puissances de , pas de ; le développement que tu écris ne peut pas te permettre de conclure : puisque tend vers 0, tend vers l'infini, et tu ne contrôles pas le terme .

Il vaut mieux exprimer la tangente hyperbolique en exponentielle : donc .

Lorsque tend vers , est de limite nulle, et tu peux faire un développement de suivant les puissances de .
En fait, dans ton cas, le seul équivalent suffit.

[invitecfdae1a3]

En fait, dans ton cas, le seul équivalent suffit.

Je ne comprends pas trop comment vous avez fait pour trouver l'équivalent de th x -1

Puisque par définition, f et g sont équivalents si la limite de f/g est 1
Or dans ce cas là, si f = -2exp^(-2x) / 1+ exp^(-2x) et g= exp(^-2x)
Le quotient tend vers -2 et pas vers 1

[invite57a1e779]

J'ai oublié le facteur -2 : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c37b5cb]

bonjour

y=(thx)^x

Tu cherche lim[lny]=lim[x*ln(thx)]=lim[ln(thx)]/(1/x)
x-->inf.

avec 3*(Regle de L'Hospitale)tu a lny-->0; y-->1