Bonjours tout le monde, je me demandais si la transformation de Laplace pouvait servir à résoudre des équations différentielles du second ordre par exemple mais avec coefficient "variant".
Exemple:
J'ai cherché des formules pour la transformée desans succés.
Sinon, quelle est la solution ?
merci d'avance, a+
Je ne pense pas que ca serve à grand chose, vu que tu vas retomber sur une équation différentielle en passant en Laplace.
Notamment, il me semble qu'on a la transformée L(t.y)=-L(y)' (à confirmer ...)
Reste à voir si l'une ou l'autre est plus facile à résoudre. Mais j'ai l'impression que dans ton cas, les deux formes doivent revenir plus ou moins à la même chose.
Bonjour,
Il me semble que la transformée de t.y(t) est égale à moins la dérivée de la transformée de y(t).
De même, on obtient la transformée de t².y(t) en utilisant deux fois ça : ça donne donc la dérivée seconde de la transformée de y'(t).
En gros, on obtient une équation différentielle sur la transformée.
Après, j'ai pas fait les calculs donc je sais pas si c'est résolvable.
Silk
Edit : grillé par Scorp
salut, merci de vous interesser à mon problème.
Votre propriété m'interesse mais comment la démontrer, je n'y arrive pas ?
et quand vous dite dérivée, c'est bien par rapport à p ?
Je sais pas quelle est la démonstration la plus simple, mais j'en connais au moins une : revenir à la définition de la dérivée.
En notant F(p) la transformée de f(t), on trouve après quelque calcul:
Après, il y a un théorème qui va permettre de faire passer la limite à l'intérieure de l'intégrale, soit :
En utilisant la dérivée de la fonction g(p)=e-tp, on trouve :
Par contre, y a un truc à vérifier lorsque l'on passe la limite à l'intérieure de l'intégrale, mais j'ai oublié quoi.
Silk
Edit: et oui, la dérivée c'est bien par rapport à p
Sinon, pour ton problème d'équa diff, je ne suis pas sûr qu'on sache donner une expression analytique à la solution (du coup, je ne pense pas que l'approche par Laplace soit utile).
Le cas particulier pour K=1 et A=1 donne déjà quelque chose de pas très commode du genre
Donc pour un cas encore plus général comme tu le souhaites, je crains le pire ...
Par curiosité, je fais le calcul avec les transformées.
On note F(p)=L(y(t)) la transformée de y(t).
On a :
L(y''(t))=p².F(p)-p.y'(0)-y(0)
L(y'(t))=p.F(p)-y(0)
L(t².y'(t))=d²(p.F(p)-y(0))/dp²=d(p.F'(p)+F(p))/dp=p.F''(p)+2F'(p)
L(t.y(t))=F'(p)
Du coup on obtient :
A(p².F(p)-p.y'(0)-y(0)) + k(p.F''(p)+2F'(p)) - F'(p) = 0
kp.F''(p) + (2k-1-p).F'(p)+ Ap².F(p) = A(p.y'(0) + y(0))
A condition que je ne me sois pas trompé. En tous cas, c'est plutôt moche ^^. Je me demandes ce que ça donne, si on fait la transformée de la transformée
Silk
ok ^^
donc la transformation de Laplace c'est pas pour ce type d'équadiff
