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Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...



  1. #1
    SPH

    Cool Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...


    ------

    Salut,

    Je pense toujours que les maths d'aujourd'hui n'ont pas une des clé qui resoudra (resolvera ? grrr, fichu francais) de nombreux problemes !!
    Aussi, dans mes reflexions sur les nombres premiers et la factorisation des grands nombres, j'ai analysé que la somme de tous les nombres impairs donnent tous les carré :
    1=1^2
    1+3=2^2
    1+3+5=3^2
    etc...
    Il y a donc un certain interet a manipuler la somme des impairs.
    La question que je me posais, c'est de savoir s'il existe des propriétés interessantes dans ce genre de somme avec les impairs, mais aussi avec les pairs ?
    Egalement, avec ces nombres mais en retirant les carré comme :
    3+5+7+11+13+15+17+19+21+23+27. ..
    et 2+6+8+10+12+14+18...

    EGALEMENT, "rien a voir" vous allez dire, mais je pense que si :
    n/log(n) donne a peu pret le nombre de nombre premiers inferieur a n. Sais t'on justement ce qui donne ce "a peu pret" ?

    -----

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  4. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...

    La somme des pairs de 2 à 2n, c'est n²+n.

    La somme des carrés inférieurs ou égaux à n², c'est n(n+1)(2n+1)/6

    La somme des carrés pairs inférieurs ou égaux à 4n², c'est 4 fois n(n+1)(2n+1)/6

    La somme des carrés impairs inférieurs ou égaux à (2n+1)², c'est

    (2n+1)(n+1)(4n+3)/3 - (2/3)n(n+1)(2n+1) = (n+1)(2n+1)(2n+3)/3

    (Sauf erreur de calcul...)

    Etc...

  5. #3
    Thorin

    Re : Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...

    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  6. #4
    leg

    Re : Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...

    Citation Envoyé par SPH Voir le message
    Salut,

    EGALEMENT, "rien a voir" vous allez dire, mais je pense que si :
    n/log(n) donne a peu pret le nombre de nombre premiers inferieur a n. Sais t'on justement ce qui donne ce "a peu pret" ?
    c'est justement la formule, qui estime environ la proportion de nombres premiers jusqu'à n
    comme toutes les formules qui donnent une estimation du nombre de nombre premiers jusqu'à une limite fixée , et en réduisant le terme d'erreur, pour se rapprocher le plus prêt de la vérité = pi(x)

    1)
    c'est tout simplement la répartition des nombres premiers qui donne ce à peu prêt.
    2)
    les moyens informatique de calcul, qui ne permettent pas de calculer le nombre exact de premier quelque soit la limite fixée.

    car il est évident qu'avec un algorithme de calcul du nombre de premiers ou simplement avec le crible d'Eratosthène tu peux connaître le nombre exact et la position de n'importe quel premier, et ce, quelque soit la limite....
    si tu as les moyens techniques et la mémoire illimité dans un temps très court de calcul ....
    d'où le temps relativement rapide, est l'estimation avec des formules appropriées.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    SPH

    Re : Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...

    Je n'ai pas calculé mais mon instinct de chasseur de nombre me dis qui si la somme des X premiers nombres impairs donnent TJR un carré, la somme des Y premiers nombres pairs n'aboutissent JAMAIS a un carré...
    Ai-je raison ? Si oui, POURQUOI ?????

  9. #6
    invite765732342432
    Invité

    Re : Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...

    Citation Envoyé par SPH Voir le message
    Je n'ai pas calculé mais mon instinct de chasseur de nombre me dis qui si la somme des X premiers nombres impairs donnent TJR un carré
    Ai-je raison ? Si oui, POURQUOI ?????
    Un simple raisonnement par récurrence le prouve... aide: un nombre impair s'écrit 2n+1
    Par contre, la question "pourquoi ?" ne me semble pas avoir beaucoup de sens... peux-tu préciser ce que tu veux savoir ?

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  11. #7
    SPH

    Re : Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...

    Citation Envoyé par Faith Voir le message
    Un simple raisonnement par récurrence le prouve... aide: un nombre impair s'écrit 2n+1
    ... Un carré peut etre pair ou impair...
    Donc un carré peut etre 2n (16,36,etc)
    Ca laisse ma question en suspend : les X premiers nb pair donnent ils parfois un carré ?

    (ou alors, je n'ai rien compris a ta reponse...)

  12. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...

    Citation Envoyé par SPH Voir le message
    Jla somme des Y premiers nombres pairs n'aboutissent JAMAIS a un carré...
    Ai-je raison ? Si oui, POURQUOI ?????
    C'est dans les formules. 4(n²+n) ne peut pas être un carré.

    Il n'y a pas un "pourquoi", mais différentes manières de le prouver. L'une consiste à remarquer que n²+n=m² implique que n=(n-m)(n+m), ce qui est impossible si m>0, donc si n>0.

  13. #9
    invite765732342432
    Invité

    Re : Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...

    Citation Envoyé par SPH Voir le message
    (ou alors, je n'ai rien compris a ta reponse...)
    En effet.
    C'est là qu'il faut utiliser la définition d'un nombre impair:

    Raisonnement par récurrence: si cette expression est égale à (a+1)², combien vaut ?

  14. #10
    Aznarog

    Smile Re : Reflexion sur 1+3+5+... et 2+4+6+...

    (n+1)2 = n2 + 2n+1

    2+4+6+...+2n=2*1+2*2+2*3+...2* n=2*(1+2+3+..+n)
    et
    1+2+3+..+n=n(n+1)/2

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