Polynomes

[invitefe5c9de5]

Bonjour a tous,

A la base, mon problème vient d'une affirmation du cours. Sachant que P(tilde)(x)=Q(tilde)(x) alors, P-Q admet tout élément du corps K pour racine. Pourquoi? Autant je peux comprendre pourquoi (P-Q)(tilde)(x) admet tout élement de K pour racine (étant égale a 0) mais pourquoi le polynome P-Q aussi.

Ce qui m'a amené a relire mon cours plus précisement sur ce qui permettait de passer de la définition formelle d'un polynome (suite d'éléments de K nul a partir d'un certain rang) a la forme la plus couramment utilisé, c'est a dire P(X)=(sommation)ak*X^k .
Or, l'écriture des polynômes sous cette forme est possible parce que (E,+,*) est un anneau commutatif (avec E l'ensemble des polynômes). Et la je en vois plus du tout le rapport...

Merci d'avance
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[invitec317278e]

Salut,
si E n'était pas commutatif, par exemple, cela signifierait que l'on pourrait avoir :
(1,1,2)*(2,1,1) différent de (2,1,1)*(1,1,2).

Si on transpose avec l'écriture usuelle ca signifie :
(1+X+2X²)(2+X+X²) différent (2+X+X²)(1+X+2X²)

ceci serait plutôt genant car il faudrait en permanence faire attention, alors que vu que c'est commutatif, on peut développer l'expression sans problème, de manière naturelle.

c'est comme ça que je vois la chose, mais sans trop de certitudes^^

[invitefe5c9de5]

Oui, tu dois avoir raison, c'est parce que la loi * de E est commutative que l'on doit pouvoir utiliser la forme usuelle.
Mais néanmoins, comment peut-on donc associer une suite de nombre avec cette forme usuelle.
Une suite de nombres et la somme de ces memes nombres ne sont pas du tout sensés etre la meme chose. qu'est ce qui m'empeche alors d'écrire?:
(1,2,3)=1+2+3

je pense que mon problème de comprénhesion de la question intiale vient de la.

merci beaucoup en tout cas

[invitefe5c9de5]

aaaaaaaaaaaa

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Salut,
mais un polynôme n'est pas la somme de ses coefficients, il s'agit de la somme des coefficients que l'on multiplie par les puissances successives de l'indéterminée

On prend l'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang, que l'un munit d'une addition (usuelle) et d'une multiplication, un peu compliquée.
Et puis après, on se rend compte que par miracle, si l'on note (1,2,3) comme étant 1+2X+3X², et (2,3,4) pour 2+3X+4X², on se rend compte que la somme de 2suites correspond exactement à ce qu'on aurait envie de faire ( (1,2,3)+(2,3,4)=(3,5,7) et 1+2X+3X²+2+3X+4X²=3+5X+7X²) et de même pour le produit, ça correspond exactement au développement d'un produit de 2 termes, c'est magique !
Du coup, et bien, ce serait dommage de se priver de cette notation, qui nous permet de raisonner sur les polynômes de manière plus intuitive, puisqu'on sait manipuler des expressions algébriques depuis le collège.

Bon, bien sur, historiquement, c'est exactement l'inverse : on commence par les fonctions polynomiales, puis on se rend compte que tout ça possède plein de propriétés qui ne sont liées qu'aux coefficients, donc on ne s'intéresse plus qu'a la suite des coefficients

[invitefe5c9de5]

Peut-on écrire un polynome (a,b,c,...)

P=(a,b,c,...)=(a,0,0,...)+(0,b ,0,...)+(0,0,c,...) ?

Si c'est possible, en considérant le polynome X^0=(1,0,0,0,...), on peut alors écrire:

P=a*X^0+b*X^1+c*X^2+...

ce qui expliquerait cette forme usuelle ?

(pas vu la réponse du dessus, désolé)

[invitec317278e]

dans ce cas, il faut aussi se donner X^1=(0,1,0,0,0,...), pour avoir les puissances successives de X.

[invitefe5c9de5]

Merci beaucoup (et donc c'est "autorisé" ce que j'ai écrit au dessus ?)

Et donc en fait, la seule différence entre R^3 et K3[X] est:

(a,b,c) appartient a R^3
(a,b,c,0,0,...) appartient a K3[X] ?

[invitebe08d051]

Et donc en fait, la seule différence entre R^3 et K3[X] est:

(a,b,c) appartient a R^3
(a,b,c,0,0,...) appartient a K3[X] ?

La première définition d'un polynôme que tu dois avoir dans ton cours, est une suite d'élément de de nulle à partir d'une certain rang....

[invite332de63a]

Tout d'abord Vishnu fait attention à (a,b,c,0,0,...) appartient à K3[X], biensur oui il y appartient mais plus restrictivement c'est à K2[X] qu'il appartient

R^n est un espace de dimension n alors que Kn[X] est de dimension n+1 en cause le coefficiant sans indéterminée.
La fonction qui à P associe P(tilde) est une bijection donc si
P(tilde)(x)=Q(tilde)(x) alors P(tilde)(x)-Q(tilde)(x)=(P-Q)(tilde)(x)=0 soit la fonction nulle et comme cette fonction "tilde" est bijective et que le polynôme nulle est envoyé sur la fonction nulle alors P-Q=0 avec le 0 des polynômes donc admet tout point comme racine .

RoBeRTo

[invite8a80e525]

La fonction qui à P associe P(tilde) est une bijection donc si
P(tilde)(x)=Q(tilde)(x) alors P(tilde)(x)-Q(tilde)(x)=(P-Q)(tilde)(x)=0 soit la fonction nulle et comme cette fonction "tilde" est bijective et que le polynôme nulle est envoyé sur la fonction nulle alors P-Q=0 avec le 0 des polynômes donc admet tout point comme racine .
RoBeRTo

Non elle n'est pas bijective.
Elle est sujective si l'espace d'arrivée est celui des fonctions polynomiales à coefficients dans K.

Par contre elle n'est pas forcément injective.
Par exemple pour K=Z/2Z, on a X(X-1) et 0 qui sont différents, mais leurs applications associées sont toutes les deux nulles.

Pour que l'application soit injective, il faut que le corps K soit infini.

[invitefe5c9de5]

Merci beacoup

[invite332de63a]

Non elle n'est pas bijective.
Elle est sujective si l'espace d'arrivée est celui des fonctions polynomiales à coefficients dans K.

Par contre elle n'est pas forcément injective.
Par exemple pour K=Z/2Z, on a X(X-1) et 0 qui sont différents, mais leurs applications associées sont toutes les deux nulles.

Pour que l'application soit injective, il faut que le corps K soit infini.

Certes mais je me placé dans K=R ou C (ce qu'on a du lui donner comme définition) car je doute qu'il fasse du
Z/7Z[X] dans les jours qui suivent. Après tu as raison biensur

De rien Vishnu, si tu as besoin d'autres explications demande

[invitefe5c9de5]

Je suis un peu perdu la...

Un polynome est une suite de termes nuls a partir d'un certain rang. Grace a une multiplication habilement choisi et a une addition "normale", on peut "associer" a un polynome une forme usuelle tel que:
P(X)=(sommation)akX^k
avec ak les termes du polynome et X une indeterminée.

Déja, ce verbe "associer" n'est possible que parce que:
P=(a,b,c,..)=(a,0,0,...)+(0,b, 0,...)+(0,0,c,...)+...
=a*(1,0,0,...)+b*(0,1,0,...)+c *(0,0,1,...)=...
=a*X^0+b*X+c*X^2=...

avec X^0=(1,0,0,...) et X=(0,1,0,...).
Est-ce que c'est ca?

De plus soit un polynome P d'indéterminée X tel que: P(X)=3X+2
Si on prend X^1=(0,2,0,...) et X^0=(1,0,0,...) on a alors P(2)=(0,8,0,...)

Mais qu'est ce qui différencie alors une fonction polynomiale d'un polynome?
Simplement les ensembles de départ et d'arrivés?
Ce qui voudrait dire qu'un polynome est une application qui va de K[X] dans K[X] alors qu'une fonction une application qui va de K dans K?

Mais un polyome n'est pas censé etre une application??



De plus, si P(tilde)=Q(tilde), pourquoi P-Q admet tout élement du corps K pour racine, étant donné que cette donnée permet de démontrer l'isomorphisme entre P(tilde) et P?
J'ai bien lu ta demonstration RoBeRtO mais j'en ai compris qe tu utilises cette bijectivité pour démontrer que c'est un isomorphisme.

Donc, complemtent

Si quelqu'un peut m'aider a clarifier tout ca.
Merci beaucoup a tous ceux qui m'ont aidés deja et désolé de ne comprends plus vite que ca...

[invitebe0cd90e]

Je pense que tu melanges quelques trucs.. Pourquoi ecrit tu P(2) comme une suite ?

L'idée c'est qu'il y a deux choses :

- les polynomes
- les fonctions polynomiales.

Ensuite, pour la premiere notion, il y a 2 notations possibles. La premiere (suites finies a partir d'un certain rang) est peu intuitive, mais evite de confondre avec la 2e notion.

Partant de la, si on pose X=(0,1,0,...) on retrouve la notion plus intuitive de polynomes, mais ce qu'on a c'est encore vraiment un polynome et dans ce contexte X est un symbole, une notation, quelque chose de formel.

Donc ca n'est pas une question d'ensemble de depart ou d'arrivée. Un polynome n'est pas une fonction, c'est un objet, un element d'une algebre.

Ensuite tu peux associer a un polynome une fonction polynomiale, en remplacant le symbole formel X par une variable (qu'on note souvent x pour faire la difference). Ceci est pssible, rigoureusement, parce que tout element a de K induit un morphisme d'algebre (qu'on appelle morphisme d'evaluation en a) de K[X] dans K, induit par X |--> a. Ensuite, puisque on veut que ca soit un morphisme d'algebre, la seule possibilité d'image pour un poynome c'est ce qu'on note P(a).

DOnc pour resumer, X,X^2,X^3 sont des vecteurs. Puisque on a la multiplication il suffit de definir X=(0,1,0,0,0) et les autres puissances de X en dependent.

Un polynome est une combinaison lineaire des X^k.

[invitebe0cd90e]

De plus, si P(tilde)=Q(tilde), pourquoi P-Q admet tout élement du corps K pour racine, étant donné que cette donnée permet de démontrer l'isomorphisme entre P(tilde) et P?

Je ne comprends pas la derniere phrase. Le truc, c'est qye par definition "etre une racine du polynome P", c'est la mme chose que "etre un zero de la fonction polynomiale associée", ce que tu notes . L'application qui a P associe n'est pas toujours un isomoprhisme, mais c'est toujours un morphisme. Donc si , alors est la fonction nulle, donc tout element de K est un 0 de cette fonction, donc tout element de K est racine du polynome P-Q.

[invitefe5c9de5]

Merci beacoup. Juste une précision X^k sont des polynômes et x^k des vecteurs?

[invitefe5c9de5]

Et aussi, comment un polynôme peut-il diviser une suite de nombre nul a partir d'un certain rang?