DL et polynômes

[invite0d2f1f10]

Lors de calculs de développements limités de fonctions, je me retrouve souvent avec un terme de la forme 1/polynôme que je n'arrive pas à arranger.

Par exemple pour calculer le DL de la fonction f(x)=arctan(x)/x à l'ordre 2 en 0, je trouve

f(x)= [ 1 / (1-x²/3) ] + o(x²)

c'est peut-être très simple mais je ne sais pas comment le mettre sous la forme habituelle d'un DL. J'ai le même problème avec d'autres fonctions plus compliquées. Pourriez vous détailler les étapes avec ce DL pour que je puisse faire pareil avec les autres ? merci
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[invitec317278e]

Dans ce cas précis, le plus simple est de prendre un DL de arctan à l'ordre 3 :

et de tout diviser par x :

[invite0d2f1f10]

pardon je me suis trompée
la fonction considérée est f(x)=x/arctan(x)

[invitec317278e]

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[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Tu peux alors par exemple dire que :

[invite0d2f1f10]

c'est bien le DL en 0 de (1 + x )^a que tu utilises ?
merci bien

[invitec317278e]

J'utilise le cas particulier : 1/(1-x), très facile à retenir.

[invitec317278e]

en revanche, ce que J'aimerais savoir, c'est comment tu es arrivé, toi, à :
f(x)= [ 1 / (1-x²/3) ] + o(x²)

[invite0d2f1f10]

je suis seulement partie du DL en 0 de acrtan (x) = x - x^3/3 + o(x^3) que je connaissais déjà. Après je suis passée à l'inverse et j'ai multiplié par x ce qui donne

f(x)= x / (x - x^3/3 + o(x^3) ) puis j'ai simplifié par x...mon raisonnement est faux ??

[invitec317278e]

La question est de savoir comment tu as ensuite sorti le o(x²) ^^

[invite57a1e779]

Bonjour Mortelune,

Pour être précis, Thorin (et il n'est pas le seul...) voudrait savoir comment tu passes de (parce que jusque là on suit bien ton calcul) à .

[invite0d2f1f10]

j'ai un problème par la suite car on considère la fonction

g(x) = x²f(x) / (1+x²)

avec f(x) = x / arctan(x) dont on a (normalement) calculé le DL en 0 à l'ordre 2. On nous demande de montrer que g possède une asymptote à préciser sur x positif. Donc j'ai cherché le développement asymptotique de g(x), je me suis ramenée à un DL en 0 de g(1/h) et au final je trouve

g(x) = x²/3 + 2 - 1/x² + o infini (1/x²)

mais ça ne me semble pas logique avec la suite de l'exercice...où est-ce que je me suis trompée ??

[invite0d2f1f10]

Bonjour Mortelune,

Pour être précis, Thorin (et il n'est pas le seul...) voudrait savoir comment tu passes de (parce que jusque là on suit bien ton calcul) à .

aïe oui....en effet on ne peut pas passer de l'un à l'autre comme ça ^^ je ne sais pas trop comment régler la question...

[invitec317278e]

aïe oui....en effet on ne peut pas passer de l'un à l'autre comme ça ^^ je ne sais pas trop comment régler la question...

C'est pas méchant, il suffit d'appliquer le DL de à , a priori.


Pour le reste...si tu veux qu'on corrige quoi que ce soit, indique nous tes calculs...

[invite0d2f1f10]

donc pour trouver un DA de g(x) je me ramène un trouver un DL de g(1/h) en 0 ce qui me fait

g(1/h) = (1/h²) / (1+1/h²) + 1 + 1/3h² + o(h²)

g(1/h) = 1 / (h²+1) + 1 + 1/3h² + o(h²)

j'applique un DL à 1 / (h²+1) = 1 - h² + o(h²)

d'où g(1/h) = 1 - h² + o(h²) + 1 + 1/3h² + o(h²)

g(1/h) = 1/3h² + 2 - h² + o(h²)

donc g(x) = x²/3 + 2 - 1/x² + o infini (1/x²)

et y = x²/3 + 2 est asymptote à g en l'inifini non ?

(dsl pour la lisibilité je maîtrise pas trop les balises)

[invite0d2f1f10]

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