Majorant et maximum

[invite4f299d99]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir si un maximum est forcément atteint par la fonction? (Car dans la définition mathématique de "maximum", il y a une égalité qui n'est pas stricte...).

Par exemple, pour la fonction th(x) définie sur R et à valeurs dans ]-1;1[, 1 n'est pas un maximum, car il s'agit de la limite de th(x) quand x tend vers +l'infini (et donc c'est une valeur qui n'est jamais atteinte bien que th(x) tende vers elle)? Par contre, on peut bien dire que th(x) admet plusieurs majorants (genre 4 par exemple)?
-----

[invite4ef352d8]

Bonsoir !

je comprend pas ta question :S.

un maximum c'est par définition un majorant qui est atteint... ce n'est donc pas un majorant stricte, et donc heureusement que l'inégalité de la définition est large sinon t'aurait un gros problème...

[invite4f299d99]

Dans mon 1er message j'avais oublié de parler aussi de "Sup" et de "Max".

Donc il y a d'un côté (comme vous me l'avez dit) "maximum" qui est le plus petit majorant atteint par la fonction, et de l'autre la "borne supérieure" qui est le plus petit majorant non atteint par la fonction (la subtilité se cacherait là... parce qu'il faut bien se l'avouer, la définition de "maximum" et de "borne supérieure" se rapportent à la même chose en dirait).

Et donc si une fonction possède un majorant, le plus petit de ses majorants est soit un maximum soit une borne supérieure?

Ah et puis au fait, Max et Min sont seulement des notations relatives à une partie A de |R, et ce n'est pas la même chose que la notion d'extrémum?


Erf je me mélange les pinceaux là...

[invite20d1fc4a]

Le maximum est par définition atteint alors que ce n'est pas toujours le cas de la borne supérieure. En effet, il se peut que ce dernier soit atteint.

Exemples : max([0,1])=sup([0,1])=1 ; max([0,1[) n'existe pas mais sup([0,1[) existe (car [0,1[ est une partie non vide et majorée de R (or tu dois savoir que R vérifie la propriété de la borne supérieure)) et vaut 1.

De plus ces notions de sup, inf, min, max sont propres aux ensembles ordonnés i.e à des couples (E,*) où E est un ensemble et * une relation binaire sur E à la fois réflexive, transitive et antisymétrique : * est appelée relation d'ordre sur E.

R muni de la relation d'ordre usuelle n'est qu'un cas particulier parmi tant d'autres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Le sup est le plus petit des majorants et le max le plus grands des éléments de ton ensemble, c'est pourquoi quand le sup appartient à l'ensemble les deux notions coincident.

Par exemple comme le fait remarqué cross fire, [0,1] a un max qui est 1 et sa borne supérieure est atteinte en 1 (par le max)
Mais sur [0,1[ il n'y à aucun max car si il existe il appartient à [0,1[ notons le M

donc M<1 or on a bien M+(1-M)/2 qui appartient à [0,1[ et qui est supérieur à M donc le max n'en est pas un, il n'y a donc aucun max sur cet intervalle.

En général une fonction continue et bornée atteint ses extrémums, si je ne dis pas de bêtises biensur.

Il est vrai que les notions de bornes et d'extrémums ne sont pas des plus simples.

Répond à cette question si tu veux bien :

Trouver le maximum et la borne supérieure (si ils existent) de l'ensemble ,
Et puis ceux de {1}

En espérant avoir été utile.

RoBeRTo

[invite4ef352d8]

Ah et puis au fait, Max et Min sont seulement des notations relatives à une partie A de |R, et ce n'est pas la même chose que la notion d'extrémum? >>> toutes ces notion existent aussi bien pour une partie que pour une fonction via la correspondance suivante :

si tu as une partie P de R, son maximum/borne sup etc... sont les maximum/borne sup etc... de la fonction x->x défini de P dans R.

si tu as une fonction f:X->R, son maximum/borne sup sont le maximum/borne sup de l'ensemble f(X).



la borne sup est "le plus petit des majorant". Le fait que ca existe toujours (enfin, c'est parfois infini quand même) est une propriété fondamental de R (qui selon la facon dont tu construit R soit ce démontre à partir d'une autre propriété fondamental comme la completude, ou le th de Bolzano Weirstrass, soit c'est une conséquence immédiate de la construction de R, et donc c'est une propriété "qui définit les nombres réel... bref dans tous les cas c'est quelque chose de pas gratuit du tout.)


un maximum est un majorant atteint par la fonction/partie.
le maximum n'existe pas toujours (par exemple, la partie ]0,1[ n'a pas de maximum), mais quand il existe il coincide avec la borne supérieur.

et donc "la borne sup est atteinte" est équivalent à "le maximum existe".

[invite20d1fc4a]

En général une fonction continue et bornée atteint ses extrémums, si je ne dis pas de bêtises biensur.

Attention : cela est faux (prendre par exemple la fonction f définie sur [0,1[ par f(x)=x). Ce qui est vrai c'est qu'une fonction continue sur un compact (et donc un segment dans le cas des fonctions de la variable réelle) atteint ses extremums.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci crossfire d'avoir corrigé mon imprécision

[invite4f299d99]

Je vais essayer de répondre à RoBeRTo-BeNDeR: Pour l'ensemble A, il n'y a pas de maximum (est-ce c'est correct de dire que la suite de réels tend vers 1 quand n tend vers l'infini?), mais il a une borne supérieure qui est 1.
Et en ce qui concerne AU{1}, cette fois-ci il y a un maximum (qui est 1) et une borne supérieure 1.


Puis je ne comprends pas l'erreur dans "En général une fonction continue et bornée atteint ses extrémums..."?
Déjà dans le contre-exemple donné, la fonction f(x)=x définie sur [0;1[ n'est pas bornée car elle n'a pas de maximum...

[invitec317278e]

Salut Tobouktou,

Que signifie "être bornée" pour une fonction, selon toi ?
Pour moi, cela signifie :
, et la fonction identité est donc bornée sur [0,1[ (avec M=1 par exemple)

[invite4f299d99]

Oops, oui en effet c'est une fonction qui est majorée et minorée ^^'!

[invite4ef352d8]

"En général une fonction continue et bornée atteint ses extrémums..." >>> le théorème précis est que :

une fonction continu sur un compact (=un fermé borné si on est dans R ou dans R^n) est borné et atteint ces bornes (ie a un maximum et un minimum...)

[RoBeRTo-BeNDeR]

oui toubouktou , sur un compact, du genre [0,1] et non pas [0,1[ désolé