vecteurs propres matrice 2x2

[invitec9566448]

Bonsoir,
je veux trouver les vecterus propres de la matrice:
1.23 0.36
-0.64 0.27
si je n'ai pas fait d'erreurs dans le calcul j'obtiens l'équation:
(1.23-x)(0.27-x)-(-0.64*0.36) = 0.3321+x²-1.23x-0.27x+0.2304 = x²-1.5x+0.5625
delta=2.25-4*0.5625 = 0
x₀ = 1.5/2 = 0.75
Donc pour les vecteurs propres je resoud le systeme:
(1.23-0.75)x+0.36y=0
-0.64x+(0.27-0.75)y=0
->
0.48x+0.36y=0 (0.8x=-0.6y)
-0.64x-0.48y=0

Et je n'arrive pas à trouver la solution du livre:
P= 0.6 0.8
-0.8 0.6
qui devrait servir à diagonaliser la matrice.
Merci d'avance
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
on peut partir de la remarque suivante : si a pour valeur propre , alors tA a pour valeur propre pour tout réel . Si ça ne change pas les vecteurs propres.
Ceci permet d'éviter tout les calculs sur les nombres à virgule.
On note et .
On a

donc la matrice n'a que la valeur propre , donc jusque là ça va.
Maintenant, il faut résoudre le système

ce qui revient à
.

On ne garde qu'une équation. L'espace propre est de dimension 1 (il n'est pas de dimension 2, car sinon on aurait que donc que ce qui est exclu.

[invitec9566448]

Merci pour votre réponse, la solution est la meme que celle que je trouve multipliée par un coefficient.
Donc il n'y a pas moyen d'arriver à
?
qui est la matrice de changement de base si je ne me trompe pas

[invitec9566448]

En fait l'énoncé est: trouver P qt P^-1AP est diagonale

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite899aa2b3]

Je crains que cette matrice ne soit pas diagonalisable. Si elle l'était, l'espace propre associé à 0,75 (pour la matrice initiale) serait de dimension 2 et ce n'est pas le cas.
Par contre, elle est trigonalisable.

[invitec9566448]

C'est exact, elle n'est pas diagonalisable
mais je n'arrive pas à comprendre comment on arrive à la solution intermediaire:

et

[invite899aa2b3]

Tu prends le vecteur propre et tu lui en ajoute un (disons ) de façon à ce que ça forme une base et tel que .

[invitec9566448]

la solution que je trouve pour est alors