limite

[invite081413b0]

bonjour!
s'il vous plaît,aidez moi.
je vais bien comprendre la démonstration de la définition des limites.
avec cet exemple:f(x)=x^3+x
la limite est 2 lorsque x tend vers vers 1
comment je peut le démontre à partir de cette définition:

ε>0, &>0, xєDf, |x - a| < & → |f(x) - l | < ε.

merci
vraiment j'ai envie de bien maîtriser cette définition
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[Médiat]

Bonjour,

je vais bien comprendre la démonstration de la définition des limites.
avec cet exemple:f(x)=x^3+x
la limite est 2 lorsque x tend vers vers 1

Commençons par écrire les choses correctement :
.

Il suffit de remplacer f(x) par sa valeur, et nous devons démontrer que :
.
Ce qui peut s'écrire
.
On va se concentrer sur
.

Or nous devons calculer (éventuellement en fonction de ), rien ne nous interdit d'ajouter quelques conditions qui peuvent nous rendre service, par exemple ici, si nous nous imposons la condition supplémentaire , nous pouvons affirmer que et par conséquent (ce n'est pas toujours aussi simple) :

et donc
.
et comme par hypothèse en posant

On obtient ,
et donc
.

Nous avons donc trouvé une valeur de qui fonctionne d'où la conclusion, à un détail près : si , on trouve , c'est à dire en dehors des bornes qui ont permis de faire la démonstration, mais la solution est simple : on pose .

[invite081413b0]

Bonjour!
merci beaucoup,mais je suis désolé d'avoir mis du temps avant de retrouver la réponse.je vais le refaire.